Để chứng minh rằng tam giác ABC cân và CM là tia phân giác của góc ACB, ta sẽ thực hiện các bước sau:

**1. Gọi Định nghĩa và Diễn giải:**
- Cho A và B là hai điểm bất kỳ.
- M là trung điểm của đoạn thẳng AB, nghĩa là \( AM = MB \).
- C là một điểm trên đường thẳng vuông góc với AB tại M.

**2. Sử dụng Định lý Đường trung bình:**
- Vì M là trung điểm và đoạn thẳng MC vuông góc với AB, ta có thể nhận thấy rằng tam giác AMC và tam giác BMC sẽ có độ dài cạnh tương ứng là AM và MB là bằng nhau (do M là trung điểm).

**3. Kết luận về độ dài:**
- Do \( AM = MB \) và \( CM \) là chung cho cả hai tam giác:
\[
AM = MB \quad \text{và} \quad CM = CM \quad \rightarrow \quad \triangle AMC \cong \triangle BMC
\]

**4. Tính chất của tam giác:**
- Từ hai tam giác này, ta suy ra rằng \( AC = BC \). Vậy tam giác ABC là tam giác cân tại C.

**5. CM là tia phân giác:**
- Từ việc tam giác AMC và BMC bằng nhau, ta có \( \angle ACM = \angle BCM \). Điều này cho thấy CM là tia phân giác của góc ACB.

**Kết luận:**
- Ta đã chứng minh rằng tam giác ABC cân và CM là tia phân giác của góc ACB.