Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ làm từng phần một:

### a) Chứng minh tam giác \(BEA = tam giác BED\)

Ta có tam giác \(ABE\) và \(ABD\):
- Trong tam giác vuông \(ABE\) tại \(A\), ta có tia phân giác \(BE\) chia \( \angle ABC \) thành hai góc bằng (vì nó là tia phân giác).
- Từ giả thiết, ta có \(BD = BA\). Do đó, \(AB = BD\).

Như vậy, ta có:
- \(BA = BD\)
- \(BE\) là phân giác => \(\frac{AE}{AB} = \frac{DE}{DB}\)

Suy ra \(\frac{AE}{DB} = \frac{DE}{BA}\), từ đó cho thấy \(BE\) cũng chia \(AD\) thành tỷ lệ giống như \(BA\).

Kết luận \( \triangle BEA \cong \triangle BED \) theo tiêu chí cạnh - góc - cạnh.

### b) Chứng minh \(BF = BC\)

Cho đường thẳng \(CH\) vuông góc với \(BE\). Vì \(BE\) là tia phân giác nên:
- \( \angle ABE = \angle DBC \).
- Đường \(CH\) vuông góc với \(BE\) cũng tạo nên hai góc vuông với cạnh \(BC\).

Ta có:

- \( \angle ABE = \angle DBC \to \angle BHF = 90^\circ \), suy ra \( \triangle BHF \sim \triangle BDC \) (góc vuông).

Vì vậy, theo định lý Pitago:
- \(BH = BC\).

Suy ra \( BF = BC \) (bởi vì \(F\) là giao điểm của đường thẳng \(CH\) với \(AB\), và \(H\) là giao điểm của \(CH\) với \(BE\)).

### c) Chứng minh tam giác \(BAC \cong tam giác BDF\) và \(D,E,F\) thẳng hàng

Ta có:
- \( \triangle BAC \) vuông tại \(A\)
- Tia phân giác và các cạnh của tam giác có các tỷ lệ giống nhau: \(AB = BD\) và \(AC = BF\).

Do đó theo tiêu chuẩn cạnh-góc-cạnh, ta có:
- \(AB = BD\)
- \(AC = BF\)
- \( \angle BAC = \angle BDF \)

Suy ra \( \triangle BAC \cong \triangle BDF \).

Để chứng minh \(D, E, F\) thẳng hàng, ta chú ý:
- \(E\) là giao điểm trên cạnh \(AC\) và do tính chất của phân giác, nên các điểm này cùng thuộc vào một đường thẳng, tức là thẳng hàng.

Kết luận: từ các phần trên, ta có thể khẳng định rằng \(D, E, F\) là ba điểm thẳng hàng.

Vậy là đã hoàn thành bài toán!