Để tìm \( x \) trong phương trình đã cho:

\[
2\left(x - \frac{1}{2}\right) - 5\left(x + \frac{3}{5}\right) = -x + \frac{1}{3}
\]

Ta sẽ giải từng bước:

1. Mở rộng các biểu thức trong phương trình:

\[
2x - 1 - 5\left(x + \frac{3}{5}\right) = -x + \frac{1}{3}
\]

2. Tính biểu thức \( -5\left(x + \frac{3}{5}\right) \):

\[
-5x - 3
\]

3. Thay vào phương trình:

\[
2x - 1 - 5x - 3 = -x + \frac{1}{3}
\]

4. Gộp các số hạng giống nhau:

\[
(2x - 5x) - 1 - 3 = -x + \frac{1}{3}
\]

\[
-3x - 4 = -x + \frac{1}{3}
\]

5. Thêm \( x \) vào cả hai vế:

\[
-3x + x - 4 = \frac{1}{3}
\]

\[
-2x - 4 = \frac{1}{3}
\]

6. Cộng 4 vào cả hai vế:

\[
-2x = \frac{1}{3} + 4
\]

Biểu thức 4 có thể viết lại là:

\[
4 = \frac{12}{3} \Rightarrow -2x = \frac{1}{3} + \frac{12}{3} = \frac{13}{3}
\]

7. Chia cả hai vế cho -2:

\[
x = -\frac{13}{3} \cdot \frac{1}{2} = -\frac{13}{6}
\]

Vậy, nghiệm của phương trình là:

\[
\boxed{-\frac{13}{6}}
\]