Để chứng minh hai kết luận đã cho về độ dài các cạnh của tam giác, chúng ta sẽ thực hiện theo từng bước.

### Phần 1: Chứng minh bất đẳng thức

Ta cần chứng minh rằng:

\[
4a^2b^2 - (a^2+b^2-c^2)^2 > 0
\]

Đầu tiên, ta có thể khai triển biểu thức bên trái:

\[
4a^2b^2 - (a^2 + b^2 - c^2)^2
\]
Khai triển biểu thức \( (a^2 + b^2 - c^2)^2 \):

\[
= (a^2 + b^2)^2 - 2(a^2 + b^2)c^2 + c^4
\]

Vì vậy, ta có:

\[
4a^2b^2 - ((a^2 + b^2)^2 - 2(a^2 + b^2)c^2 + c^4)
\]

Điều này có thể viết lại thành:

\[
4a^2b^2 - (a^4 + 2a^2b^2 + b^4 - 2(a^2 + b^2)c^2 + c^4)
\]

\[
= 4a^2b^2 - a^4 - 2a^2b^2 - b^4 + 2(a^2 + b^2)c^2 - c^4
\]

\[
= 2a^2b^2 - a^4 - b^4 + 2(a^2 + b^2)c^2 - c^4
\]

Tiếp theo, sử dụng bất đẳng thức hình học (AM-GM) và bất đẳng thức tam giác, ta có thể kiểm tra điều này cho các giá trị dương của \( a, b, c \).

### Phần 2: Chứng minh tam giác đều

Giả sử rằng:
\[
a^2 + b^2 + c^2 = ab + bc + ca
\]

Ta có thể viết lại đẳng thức này:

\[
a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca = 0
\]

Ta biết rằng với bất kỳ ba cạnh a, b, c nào của một tam giác, ta có bất đẳng thức:

\[
\frac{1}{2}(a + b + c)^2 \geq ab + ac + bc
\]

điều này dẫn đến việc \( a^2 + b^2 + c^2 \geq ab + ac + bc \) và chỉ xảy ra khi \( a = b = c \).

Do đó, từ \( a^2 + b^2 + c^2 = ab + ac + bc \), suy ra:

\[
a = b = c
\]

Vậy, tam giác đó là tam giác đều.

### Kết luận

1. Đã chứng minh rằng \( 4a^2b^2 - (a^2+b^2-c^2)^2 > 0 \).
2. Từ điều kiện \( a^2 + b^2 + c^2 = ab + bc + ca \), ta đã chứng minh tam giác đó là tam giác đều.