CM biểu thức luôn dương với mọi x: x⁴ + 4x² + 2x

Để kiểm tra tính dương của biểu thức \( f(x) = x^4 + 4x^2 + 2x \) với mọi \( x \), ta sẽ phân tích biểu thức này.

1. **Tính đạo hàm để tìm cực trị**:
\[
f'(x) = 4x^3 + 8x + 2
\]

Ta cần tìm nghiệm của \( f'(x) = 0 \):
\[
4x^3 + 8x + 2 = 0 \quad \Rightarrow \quad 2x^3 + 4x + 1 = 0
\]

Bình phương phương trình này để tìm nghiệm. Chúng ta có thể thử các giá trị khác nhau để xem có nghiệm nào không:

- Với \( x = -1 \):
\[
2(-1)^3 + 4(-1) + 1 = -2 - 4 + 1 = -5 \quad \text{(không phải)}
\]
- Với \( x = 0 \):
\[
2(0)^3 + 4(0) + 1 = 1 \quad \text{(không phải)}
\]
- Với \( x = 1 \):
\[
2(1)^3 + 4(1) + 1 = 2 + 4 + 1 = 7 \quad \text{(không phải)}
\]
- Với \( x = -2 \):
\[
2(-2)^3 + 4(-2) + 1 = -16 - 8 + 1 = -23 \quad \text{(không phải)}
\]
- Với \( x = -0.5 \):
\[
2(-0.5)^3 + 4(-0.5) + 1 = -0.25 - 2 + 1 = -1.25 \quad \text{(không phải)}
\]

Như vậy, các nghiệm này không cho ra giá trị 0 dương. Hệ số của bậc cao nhất là dương (\( 4 \)), nên hàm có đỉnh là cực đại nếu nó có nghiệm thực.

2. **Tính giá trị của hàm số tại một số điểm**:
- Tại \( x = 0 \):
\[
f(0) = 0^4 + 4 \cdot 0^2 + 2 \cdot 0 = 0
\]
- Tại \( x = 1 \):
\[
f(1) = 1^4 + 4 \cdot 1^2 + 2 \cdot 1 = 1 + 4 + 2 = 7
\]
- Tại \( x = -1 \):
\[
f(-1) = (-1)^4 + 4 \cdot (-1)^2 + 2 \cdot (-1) = 1 + 4 - 2 = 3
\]
- Tại \( x = -2 \):
\[
f(-2) = (-2)^4 + 4 \cdot (-2)^2 + 2 \cdot (-2) = 16 + 16 - 4 = 28
\]

3. **Xét hàm tại cực trị**:
Hàm này không có nghiệm nào dương (không cắt trục hoành) và giá trị của hàm số tại \( x = 0 \) là 0. Tuy nó không phải là "luôn dương", tuy nhiên các giá trị tại các điểm x > 0 và x < 0 đều cho giá trị dương.

Tóm lại, biểu thức \( x^4 + 4x^2 + 2x \) không luôn dương với mọi \( x \) vì nó có giá trị bằng 0 tại \( x = 0 \), nên ta không thể khẳng định rằng nó luôn dương.