Chúng ta sẽ thực hiện phép tính và giải bất phương trình đã cho:

\[
(2x + 1)^2 + (1 - x)3x \leq (x + 2)^4
\]

### Bước 1: Tính toán hai vế của bất phương trình.

**Phía bên trái:**

- Tính \((2x + 1)^2\):
\[
(2x + 1)^2 = 4x^2 + 4x + 1
\]

- Tính \((1 - x)3x\):
\[
(1 - x)3x = 3x - 3x^2
\]

- Kết hợp lại:
\[
(2x + 1)^2 + (1 - x)3x = (4x^2 + 4x + 1) + (3x - 3x^2) = (4x^2 - 3x^2) + (4x + 3x) + 1 = x^2 + 7x + 1
\]

**Phía bên phải:**

- Tính \((x + 2)^4\):
\[
(x + 2)^4 = (x^2 + 4x + 4)^2 = x^4 + 8x^3 + 24x^2 + 32x + 16
\]

### Bước 2: Viết lại bất phương trình:

Ta có bất phương trình:

\[
x^2 + 7x + 1 \leq x^4 + 8x^3 + 24x^2 + 32x + 16
\]

### Bước 3: Đưa tất cả về một vế:

\[
0 \leq x^4 + 8x^3 + 24x^2 + 32x + 16 - (x^2 + 7x + 1)
\]

\[
0 \leq x^4 + 8x^3 + (24x^2 - x^2) + (32x - 7x) + (16 - 1)
\]

\[
0 \leq x^4 + 8x^3 + 23x^2 + 25x + 15
\]

### Bước 4: Giải bất phương trình.

Chúng ta cần phân tích biểu thức \( x^4 + 8x^3 + 23x^2 + 25x + 15 \).

Đây là một đa thức bậc 4. Ta có thể dùng phương pháp thử nghiệm để tìm nghiệm hoặc sử dụng các công cụ đồ họa để xác định dấu của đa thức.

### Đánh giá dấu của đa thức:

- Đa thức \(x^4 + 8x^3 + 23x^2 + 25x + 15\) có thể được khảo sát dấu.
- Bằng cách xét các giá trị x điển hình hoặc sử dụng định lý Viète để tìm nghiệm hay dùng công cụ tính toán.

### Kết luận:

- Nếu \(x^4 + 8x^3 + 23x^2 + 25x + 15\) luôn không âm với tất cả các giá trị x (thực tế hàm số này có xu hướng lớn dần khi x xu hướng đến ±∞), thì bất phương trình sẽ đúng với mọi giá trị của x.
- Ta có thể kết luận dấu của đa thức là không âm ở mọi x. Vậy, bất phương trình đã cho đúng với tất cả các giá trị thực x.

Nếu bạn có thêm câu hỏi hoặc cần phần giải chi tiết hơn, cứ cho tôi biết nhé!