Để chứng minh rằng đường thẳng \( AO \) là đường trung trực của đoạn \( BC \), ta có thể thực hiện các bước sau:

1. **Gọi các điểm:** Gọi \( M \) là trung điểm của đoạn \( BC \). Ta cần chứng minh rằng \( H \) trùng với \( M \).

2. **Tính độ dài các đoạn:** Hai đoạn \( AB \) và \( AC \) đều là tiếp tuyến từ điểm \( A \) đến đường tròn, tức là \( AB = AC \).

3. **Đẳng thức vận dụng:** Trong tam giác \( ABO \) và \( ACO \), ta có:
- \( AB = AC \) (tính chất tiếp tuyến)
- \( AO \) là chung cạnh
- \( OB = OC = R \) (bán kính)

Do đó, tam giác \( ABO \) và \( ACO \) là hai tam giác đồng dạng.

4. **Giao điểm:** Hai điểm tiếp xúc \( B \) và \( C \) tạo thành một đoạn thẳng \( BC \), và \( H \) là giao điểm của \( AO \) với \( BC \).

5. **Áp dụng tính chất đường trung trực:** Vì \( AB = AC \), tam giác \( ABO \) và \( ACO \) là hai tam giác cân, suy ra đường trung trực của đoạn \( BC \) phải đi qua \( A \).

Cho nên, ta kết luận rằng \( AO \) chính là đường trung trực của đoạn \( BC \).

Vậy ta đã chứng minh xong!