Để chứng minh tứ giác \(ABCD\) là hình chữ nhật, ta sẽ sử dụng các đặc điểm của hình vuông và các yếu tố trong hình học phẳng.

1. **Dữ liệu đã cho:**
- Tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\).
- \(E\) là trung điểm của đoạn \(BC\).
- \(D\) là điểm đối xứng của \(A\) qua \(E\).

2. **Chứng minh rằng \(AB \parallel CD\) và \(AD \parallel BC\):**
- Vì \(E\) là trung điểm của đoạn \(BC\) nên \(BE = EC\).
- Từ điểm \(D\) được xác định là đối xứng của \(A\) qua \(E\), suy ra \(AE = ED\).
- Do đó, trong tam giác vuông \(ABE\) và tam giác \(CDE\), ta có:
- \(AB = AC\) (cạnh huyền của tam giác vuông).
- \(AE = ED\) (do tính chất đối xứng).
- \(BE = EC\).

3. **Chứng minh rằng các góc của tứ giác là góc vuông:**
- Dễ dàng thấy rằng góc \(AEB\) = góc \(CED\) = \(90^\circ\) vì chúng nằm trong tam giác vuông \(ABC\).
- Từ đó, ta có \(AB \perp AD\) (cạnh \(AD\) vuông góc với cạnh \(AB\)).

4. **Kết luận:**
- Tứ giác \(ABCD\) có hai cặp cạnh song song ( \(AB \parallel CD\) và \(AD \parallel BC\)) và tất cả các góc đều bằng \(90^\circ\).
- Do đó, tứ giác \(ABCD\) là hình chữ nhật.

Như vậy, qua các bước trên, ta đã chứng minh được tứ giác \(ABCD\) là hình chữ nhật.