Để số hữu tỉ \( \frac{1 - 2x}{x + 3} \) có giá trị nguyên, điều kiện cần để là mẫu số \( x + 3 \) phải khác 0, tức là \( x \neq -3 \).

Gọi \( n \) là số nguyên mà chúng ta muốn \( \frac{1 - 2x}{x + 3} = n \). Từ phương trình này, ta có:

\[
1 - 2x = n(x + 3)
\]

Mở rộng phương trình:

\[
1 - 2x = nx + 3n
\]

Sắp xếp lại để nhóm các hạng tử liên quan đến \( x \):

\[
1 - 3n = nx + 2x
\]

\[
1 - 3n = (n + 2)x
\]

Từ đây, suy ra:

\[
x = \frac{1 - 3n}{n + 2}
\]

Để \( x \) là số nguyên, thì \( 1 - 3n \) phải chia hết cho \( n + 2 \). Ta có thể kiểm tra xem các giá trị khác nhau của \( n \):

1. **Khi \( n = 0 \)**:
\[
x = \frac{1 - 0}{0 + 2} = \frac{1}{2} \quad (\text{không phải là nguyên})
\]

2. **Khi \( n = 1 \)**:
\[
x = \frac{1 - 3 \cdot 1}{1 + 2} = \frac{1 - 3}{3} = \frac{-2}{3} \quad (\text{không phải là nguyên})
\]

3. **Khi \( n = -1 \)**:
\[
x = \frac{1 - 3 \cdot (-1)}{-1 + 2} = \frac{1 + 3}{1} = 4 \quad (\text{là nguyên})
\]

4. **Khi \( n = 2 \)**:
\[
x = \frac{1 - 3 \cdot 2}{2 + 2} = \frac{1 - 6}{4} = \frac{-5}{4} \quad (\text{không phải là nguyên})
\]

5. **Khi \( n = -2 \)**:
\[
x = \frac{1 - 3 \cdot (-2)}{-2 + 2} = \frac{1 + 6}{0} \quad (\text{không xác định})
\]

Kiểm tra thêm các giá trị \( n \) khác:

- Từ công thức \( x = \frac{1 - 3n}{n + 2} \), ta cần \( 1 - 3n \) chia hết cho \( n + 2 \). Với điều kiện \( n + 2 \neq 0 \) hay \( n \neq -2 \).

Thực hiện kiểm tra:

- Sử dụng các giá trị khác nhau cho \( n \):

- \( n = -3 \):
\[
x = \frac{1 + 9}{-1} = \frac{10}{-1} = -10 \quad (\text{là nguyên})
\]

- \( n = 4 \):
\[
x = \frac{1 - 12}{6} = \frac{-11}{6} \quad (\text{không phải là nguyên})
\]

Ta có những giá trị nguyên cho \( x \) là \( x = 4 \) và \( x = -10 \).

Vậy, các giá trị nguyên của \( x \) để \( \frac{1 - 2x}{x + 3} \) có giá trị nguyên là:

**\( x = 4 \) và \( x = -10 \)**.