Để giải bài toán, chúng ta sẽ xử lý từng yêu cầu một.

### a) Tìm giá trị của x để giá trị phân thức M bằng 0.

Phân thức \( M \) sẽ bằng 0 khi tử số bằng 0, tức là:

\[ 3x^2 + 6x + 12 = 0 \]

Tính delta (\( \Delta \)) của phương trình bậc 2 này:

\[
\Delta = b^2 - 4ac = 6^2 - 4 \cdot 3 \cdot 12 = 36 - 144 = -108
\]

Vì \( \Delta < 0 \), phương trình này không có nghiệm thực. Do đó, không có giá trị nào của \( x \) để \( M = 0 \).

### b) Tìm giá trị của x để giá trị phân thức M bằng 3.

Ta có:

\[ M = 3 \]

Tức là:

\[
\frac{3x^2 + 6x + 12}{x^3 - 8} = 3
\]

Giải phương trình:

\[
3x^2 + 6x + 12 = 3(x^3 - 8)
\]

Khi đơn giản hóa, ta có:

\[
3x^2 + 6x + 12 = 3x^3 - 24
\]

Chuyển tất cả về một phía:

\[
3x^3 - 3x^2 - 6x - 36 = 0
\]

Ta có thể chia cả phương trình cho 3:

\[
x^3 - x^2 - 2x - 12 = 0
\]

Để tìm nghiệm, ta kiểm tra các giá trị nguyên:

- \( x = 4 \):
\[
4^3 - 4^2 - 2 \cdot 4 - 12 = 64 - 16 - 8 - 12 = 28 \quad (\text{không phải nghiệm})
\]

- \( x = 3 \):
\[
3^3 - 3^2 - 2 \cdot 3 - 12 = 27 - 9 - 6 - 12 = 0 \quad (\text{là nghiệm})
\]

Vậy nghiệm là \( x = 3 \).

### c) Tìm giá trị của x để giá trị phân thức M bằng 1/3.

Ta có:

\[ M = \frac{1}{3} \]

Tức là:

\[
\frac{3x^2 + 6x + 12}{x^3 - 8} = \frac{1}{3}
\]

Giải phương trình:

\[
3(3x^2 + 6x + 12) = x^3 - 8
\]

Khi đơn giản hóa, ta có:

\[
9x^2 + 18x + 36 = x^3 - 8
\]

Chuyển tất cả về một phía:

\[
x^3 - 9x^2 - 18x - 44 = 0
\]

Ta có thể kiểm tra nghiệm nguyên như đã làm ở phần b). Nghiệm của phương trình này có thể tìm thấy bằng cách thử hoặc sử dụng các phương pháp như khám phá nghiệm hoặc chia đô.

- Tiếp tục kiểm tra, ta sẽ thấy rằng không có nghiệm nguyên đơn giản nào.

### d) Tìm số tự nhiên x để giá trị phân thức M là số nguyên.

Để \( M \) là số nguyên, điều kiện là:

\[
3x^2 + 6x + 12
\]

phải chia hết cho \( x^3 - 8 \).

Ta phải kiểm tra một số giá trị tự nhiên cho \( x \) (như \( x = 1, 2, 3, \ldots \)) và kiểm tra xem \( M \) có cho kết quả nguyên không.

- \( x = 1: M = \frac{3(1)^2 + 6(1) + 12}{(1)^3 - 8} = \frac{21}{-7} = -3 \quad \text{(nguyên)} \)
- \( x = 2: M = \frac{3(2)^2 + 6(2) + 12}{(2)^3 - 8} = \frac{36}{0} \quad \text{(không có nghĩa)} \)
- \( x = 3: M = 3 \quad \text{(nguyên)} \)
- \( x = 4: M = \frac{60}{56} = \frac{15}{14} \quad \text{(không nguyên)} \)

Tiếp tục kiểm tra cho đến giá trị lớn, nhưng có vẻ như chỉ có \( x = 1, 3 \) là cho \( M \) nguyên.

### Kết luận:
- a) Không có giá trị nào để \( M = 0 \).
- b) \( x = 3 \) là nghiệm cho \( M = 3 \).
- c) Cần kiểm tra kỹ để tìm nghiệm cho \( M = \frac{1}{3} \); có thể không có nghiệm nguyên.
- d) Số tự nhiên \( x = 1 \) và \( x = 3 \) cho \( M \) là số nguyên.