Ta có phương trình:

\[
2^x + 2^{x+4} = 544
\]

Ta có thể viết lại \(2^{x+4}\) như sau:

\[
2^{x+4} = 2^x \cdot 2^4 = 16 \cdot 2^x
\]

Thay vào phương trình ban đầu, ta có:

\[
2^x + 16 \cdot 2^x = 544
\]

Kết hợp các hạng tử lại:

\[
17 \cdot 2^x = 544
\]

Chia cả hai vế cho 17:

\[
2^x = \frac{544}{17} = 32
\]

Ta biết rằng \(32 = 2^5\), do đó:

\[
2^x = 2^5
\]

Từ đây, ta suy ra:

\[
x = 5
\]

Vậy nghiệm của phương trình là:

\[
\boxed{5}
\]