CMR: Nếu n là tổng của 2 số chính phương thì n² cũng là số chính phương

Để chứng minh rằng nếu \( n \) là tổng của hai số chính phương thì \( n^2 \) cũng là số chính phương, chúng ta thực hiện như sau:

Giả sử có hai số chính phương:

\[
a = x^2 \quad \text{và} \quad b = y^2
\]

Với \( x \) và \( y \) là các số nguyên. Khi đó, \( n \) sẽ được tính như sau:

\[
n = a + b = x^2 + y^2
\]

Bây giờ, chúng ta cần tính \( n^2 \):

\[
n^2 = (x^2 + y^2)^2 = x^4 + 2x^2y^2 + y^4
\]

Khi xem xét biểu thức này, chúng ta nhận ra rằng \( n^2 \) được biểu diễn dưới dạng của hai số chính phương và một số hạng khác.

Để hoàn thành chứng minh, chúng ta cần chỉ ra rằng \( n^2 \) có thể được viết như một số chính phương. Qua việc sắp xếp lại các số hạng, ta thấy rằng:

\[
n^2 = (x^2 + y^2)^2 = (x^2)^2 + 2(x^2)(y^2) + (y^2)^2
\]

Tuy nhiên, cần lưu ý rằng không phải tất cả tổng của hai số chính phương đều tạo ra một số chính phương cho \( n^2 \). Ví dụ, nếu \( n = 2 \) (tổng của \( 1^2 + 1^2 \)), thì \( n^2 = 4 \), là một số chính phương. Tuy nhiên, tổng của các số chính phương có thể không đảm bảo là một số chính phương cho tất cả các trường hợp.

Vì vậy, tuy có thể có các ví dụ thoả mãn điều kiện này, nhưng điều này không đúng cho tất cả các trường hợp. Nên cần xem xét từng trường hợp một cách cụ thể.