Tìm GTNN của P

Để tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \( P = x^2 + 6y^2 \) với điều kiện \( x + y + xy = 7 \), ta có thể sử dụng phương pháp thay thế và điều kiện đã cho để biểu diễn một biến theo biến còn lại.

Từ phương trình \( x + y + xy = 7 \), ta có thể viết lại nó dưới dạng:

\[
xy + x + y - 7 = 0
\]

Thay \( y = \frac{7 - x}{x + 1} \) (vì \( y = 7 - x - xy \) có thể viết lại bằng cách thế cho \( xy \)).

Chúng ta cần tính toán giá trị của \( P \):

\[
P = x^2 + 6y^2 = x^2 + 6 \left(\frac{7 - x - y}{x + 1}\right)^2
\]

Cách đơn giản hơn là sử dụng phương pháp Lagrange Multiplier hoặc suy diễn từ điều kiện cho tận cùng.

Tuy nhiên, ở đây, ta đi từ điều kiện \( x + y + xy = 7 \) mà không cần sử dụng phương pháp phức tạp. Ta có thể biểu diễn \( y \) theo \( x \):

\[
y = \frac{7 - x}{x + 1}
\]

Thay vào P:

\[
P = x^2 + 6 \left(\frac{7 - x}{x + 1}\right)^2
\]

Để tối ưu hóa, ta sẽ nối lại với hệ phương trình liên quan và giải hệ bất đẳng thức này.

Tìm giá trị cực tiểu của hàm sẽ cần đạo hàm và giải hệ phương trình nhưng do điều kiện khá phức tạp ta có câu trả lời quy về giá trị tối ưu.

Một cách khác, bạn có thể lặp lại qua các giá trị nguyên.

Thử cho các giá trị:

- **Với** \( x = 1 \), thì \( y + 1 + y = 7 \) nên \( y = 6 \), \( P = 1^2 + 6(6^2) = 1 + 216 = 217 \).
- **Với** \( x = 2 \), thì \( y + 2 + 2y = 7 \) hay \( 3y = 5 \) nên \( y = \frac{5}{3} \), \( P = 2^2 + 6(\frac{5}{3})^2 = 4 + 6 \cdot \frac{25}{9} = 4 + \frac{150}{9} \).
- **Với** \( x = 3 \), thì \( y + 3 + 3y = 7 \) hay \( 4y = 4 \) nên \( y = 1 \), \( P = 3^2 + 6(1^2) = 9 + 6 = 15 \).
- **Với** \( x = 4 \), thì \( 4 + y + 4y = 7 \) hay \( 5y = 3 \) nên \( y = \frac{3}{5} \), \( P = 4^2 + 6(\frac{3}{5})^2 = 16 + 6 \cdot \frac{9}{25} \).

Từ đó bạn có thể kiểm tra các giá trị để lấy GTNN.

Sau khi thử nghiệm các giá trị gần đó, giá trị nhỏ nhất của P cho \( x + y + xy = 7 \) tìm thấy sẽ là ít nhất là \( P = 15 \).

Trả lời cuối cùng:

\[
\text{GTNN của } P = 15
\] tại \( x = 3, y = 1 \).