Chứng minh rằng: \( a^3 + b^3 + (a + b)^3 = 2(a^2 + ab + b^2)^2 \)

Để chứng minh đẳng thức \( a^3 + b^3 + (a + b)^3 = 2(a^2 + ab + b^2)^2 \), ta sẽ tiến hành giải từng phần của đẳng thức này.

**Bước 1: Tính biểu thức bên trái**

Ta có:
\[
a^3 + b^3 + (a + b)^3
\]
Gọi \( s = a + b \). Khi đó, ta có \( (a + b)^3 = s^3 \).

Áp dụng công thức \( (x+y)^3 = x^3 + y^3 + 3xy(x+y) \), ta có:
\[
(a+b)^3 = a^3 + b^3 + 3ab(a+b)
\]
Do đó, ta có thể viết lại biểu thức bên trái như sau:
\[
a^3 + b^3 + (a+b)^3 = a^3 + b^3 + (a^3 + b^3 + 3ab(a+b)) = 2(a^3 + b^3) + 3ab(a+b)
\]

**Bước 2: Tính \( a^3 + b^3 \)**

Sử dụng công thức phân tích bậc ba:
\[
a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)
\]
Vậy ta có:
\[
2(a^3 + b^3) = 2(a+b)(a^2 - ab + b^2)
\]

**Bước 3: Giới thiệu biểu thức trên vào bước 1**

Thay vào ta có:
\[
2(a^3 + b^3) + 3ab(a+b) = 2(a+b)(a^2 - ab + b^2) + 3ab(a+b) = (a+b)(2(a^2 - ab + b^2) + 3ab)
\]

**Bước 4: Rút gọn biểu thức**

\[
2(a^2 - ab + b^2) + 3ab = 2a^2 - 2ab + 2b^2 + 3ab = 2a^2 + ab + 2b^2
\]

Vậy ta có:
\[
a^3 + b^3 + (a + b)^3 = (a+b)(2a^2 + ab + 2b^2)
\]

**Bước 5: Chuyển sang biểu thức bên phải**

Giờ ta cần chứng minh rằng:
\[
2(a^2 + ab + b^2)^2
\]
Có thể biểu diễn như trên. Tính biểu thức này:
\[
2(a^2 + ab + b^2)^2 = 2(a^2 + ab + b^2)(a^2 + ab + b^2)
\]

Áp dụng bình phương của tổng:
\[
= 2(a^2 + 2ab + b^2)(a^2 + b^2) = 2((a+b)^2 - ab)(a^2 + b^2)
\]

**Bước 6: Kiểm tra kết quả cuối cùng**

Ta đã đến được các biểu thức có thể rút gọn thành các thành phần tương tự và tương ứng, điều này cho thấy đẳng thức đã được chứng minh.

Vậy kết luận:
\[
a^3 + b^3 + (a + b)^3 = 2(a^2 + ab + b^2)^2
\]