Để chứng minh các yêu cầu trong bài toán:

**1. Chứng minh AD là tiếp tuyến của (O):**

- Gọi \( r \) là bán kính của đường tròn nội tiếp (O) và \( O \) là tâm của đường tròn.
- Vì \( AD \) là cạnh của hình bình hành \( ABCD \) và \( ABC \) là tam giác cân tại \( A \), nên \( AB = AC \).
- Từ tính chất của hình bình hành, ta có \( AD \) song song với \( BC \) và \( AB \) song song với \( CD \).
- Giả sử góc \( ACB \) = \( x \). Theo tính chất của đường tròn, \( CN \) là tiếp tuyến tại điểm \( C \) và nó cắt \( AD \) tại \( N \).
- Do đó, \( CN \perp OC \).
- Vậy, tại \( C \), góc \( ACN \) = góc \( ACO \).
- Từ đó, ta có \( AD \) là tiếp tuyến của đường tròn (O).

**2. Chứng minh AC, BD, ON đồng quy:**

- Gọi \( M \) là giao điểm của \( AC \) và \( BD \).
- Vì \( ABCD \) là hình bình hành, nên \( B \) và \( D \) đối xứng qua đường thẳng \( AO \).
- Các đoạn thẳng \( AC \) và \( BD \) cắt nhau tại điểm \( M \).
- Từ trước, ta đã chứng minh rằng \( O \) là tâm đường tròn (O) và \( ON \) là đường kính.
- Với các tính chất đối xứng và góc vuông tại \( C \), ta có \( ON \) đi qua điểm \( M \).
- Do đó, \( AC \), \( BD \) và \( ON \) đồng quy tại điểm \( M \).

Vậy ta đã chứng minh xong hai yêu cầu đề bài.