Một vật dao động điều hoà với phương trình x=4cos(2πt+π/2) cm. Khi vật có li độ x = 2cm thì vật có tốc độ là 4√aπ cm/s. Hỏi giá trị a là bao nhiêu

Để giải bài toán này, ta bắt đầu với phương trình dao động điều hòa đã cho:

\[ x = 4 \cos(2\pi t + \frac{\pi}{2}) \]

Ta có thể viết lại phương trình này bằng cách sử dụng tính chất của hàm cos:

\[ x = 4 \cos(2\pi t + \frac{\pi}{2}) = 4 \cdot (-\sin(2\pi t)) = -4 \sin(2\pi t) \]

Tìm vận tốc của vật, ta lấy đạo hàm của x theo thời gian t:

\[ v = \frac{dx}{dt} = -4 \cdot 2\pi \cos(2\pi t) = -8\pi \cos(2\pi t) \]

Khi vật có li độ \( x = 2 \) cm, ta có:

\[ -4 \sin(2\pi t) = 2 \]
\[ \sin(2\pi t) = -\frac{1}{2} \]

Điều này xảy ra tại các thời điểm:

\[ 2\pi t = \frac{7\pi}{6} + 2k\pi \quad \text{hoặc} \quad 2\pi t = \frac{11\pi}{6} + 2k\pi \]

Tiếp theo, để tìm giá trị của \( v \), chúng ta thay giá trị \( \sin(2\pi t) \) vào phương trình vận tốc:

\[ v = -8\pi \cos(2\pi t) \]

Từ công thức \( \sin^2(2\pi t) + \cos^2(2\pi t) = 1 \), ta có:

\[ \cos^2(2\pi t) = 1 - \left(-\frac{1}{2}\right)^2 = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4} \]
\[ \cos(2\pi t) = \frac{\sqrt{3}}{2} \quad \text{hoặc} \quad -\frac{\sqrt{3}}{2} \]

Thay vào công thức vận tốc, ta được:

\[ v = -8\pi \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = -4\sqrt{3} \pi \]

Với giá trị \( v = 4\sqrt{a}\pi \), ta so sánh hai biểu thức:

\[ -4\sqrt{3}\pi = 4\sqrt{a}\pi \]

Ta lấy giá trị tuyệt đối:

\[ 4\sqrt{3} = 4\sqrt{a} \]

Nếu chia hai vế cho 4:

\[ \sqrt{3} = \sqrt{a} \]
\[ a = 3 \]

Vậy giá trị của a là \( \boxed{3} \).