Để giải phương trình \(16x^2 + 25y^2 + 13 = 20y + 24x\), trước hết ta sẽ đưa tất cả các hạng tử về một bên để có dạng phương trình tổng quát hơn.

Bắt đầu, ta viết lại phương trình:

\[
16x^2 - 24x + 25y^2 - 20y + 13 = 0
\]

Tiếp theo, ta nhóm các hạng tử theo \(x\) và \(y\):

1. **Nhóm hạng tử theo \(x\)**:
\[
16x^2 - 24x
\]
Ta sẽ hoàn thành bình phương cho \(x\):
\[
16(x^2 - \frac{24}{16}x) = 16\left(x^2 - \frac{3}{2}x\right)
\]
Để hoàn thành bình phương, ta cần thêm và trừ \(\left(\frac{3}{4}\right)^2 = \frac{9}{16}\):
\[
= 16\left(x^2 - \frac{3}{2}x + \frac{9}{16} - \frac{9}{16}\right)
= 16\left(\left(x - \frac{3}{4}\right)^2 - \frac{9}{16}\right)
= 16\left(x - \frac{3}{4}\right)^2 - 9
\]

2. **Nhóm hạng tử theo \(y\)**:
\[
25y^2 - 20y
\]
Ta hoàn thành bình phương cho \(y\):
\[
25\left(y^2 - \frac{20}{25}y\right) = 25\left(y^2 - \frac{4}{5}y\right)
\]
Thêm và trừ \(\left(\frac{4}{10}\right)^2 = \frac{16}{100} = \frac{4}{25}\):
\[
= 25\left(y^2 - \frac{4}{5}y + \frac{4}{25} - \frac{4}{25}\right)
= 25\left(\left(y - \frac{2}{5}\right)^2 - \frac{4}{25}\right)
= 25\left(y - \frac{2}{5}\right)^2 - 4
\]

Bây giờ, thay vào phương trình gốc:

\[
16\left(x - \frac{3}{4}\right)^2 - 9 + 25\left(y - \frac{2}{5}\right)^2 - 4 + 13 = 0
\]

Sắp xếp lại:

\[
16\left(x - \frac{3}{4}\right)^2 + 25\left(y - \frac{2}{5}\right)^2 + 0 = 0
\]

Vì các bình phương luôn không âm, để phương trình này bằng 0 thì cả hai hạng tử phải bằng 0:

\[
16\left(x - \frac{3}{4}\right)^2 = 0 \quad \text{và} \quad 25\left(y - \frac{2}{5}\right)^2 = 0
\]

Điều này dẫn đến:

\[
x - \frac{3}{4} = 0 \quad \Rightarrow \quad x = \frac{3}{4}
\]

\[
y - \frac{2}{5} = 0 \quad \Rightarrow \quad y = \frac{2}{5}
\]

Vậy nghiệm của phương trình là:

\[
\boxed{\left(\frac{3}{4}, \frac{2}{5}\right)}
\]