Dưới đây là các bước giải các phương trình đã cho:

1. **Phương trình:** \( \sin x = -\frac{\sqrt{2}}{2} \)

**Giải:**
\( x = \frac{7\pi}{4} + 2k\pi \) hoặc \( x = \frac{5\pi}{4} + 2k\pi \) (với \( k \) là số nguyên)

2. **Phương trình:** \( \sin(2x + 10^\circ) = -\frac{\sqrt{2}}{2} \)

**Giải:**
\( 2x + 10^\circ = 225^\circ + k \cdot 360^\circ \) hoặc \( 2x + 10^\circ = 315^\circ + k \cdot 360^\circ \)
=> \( x = 107.5^\circ + k \cdot 180^\circ \) hoặc \( x = 152.5^\circ + k \cdot 180^\circ \)

3. **Phương trình:** \( \sin\left(2x + \frac{\pi}{10}\right) = \sin\left(x - \frac{\pi}{3}\right) \)

**Giải:**
\( 2x + \frac{\pi}{10} = x - \frac{\pi}{3} + 2k\pi \) hoặc \( 2x + \frac{\pi}{10} = \pi - \left(x - \frac{\pi}{3}\right) + 2k\pi \)

4. **Phương trình:** \( \sin 3x = 1 \)

**Giải:**
\( 3x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi \)
=> \( x = \frac{\pi}{6} + \frac{2k\pi}{3} \)

5. **Phương trình:** \( \sin\left(6x - \frac{\pi}{6}\right) = \sin\left(x\right) \)

**Giải:**
\( 6x - \frac{\pi}{6} = x + 2k\pi \) hoặc \( 6x - \frac{\pi}{6} = \pi - x + 2k\pi \)

6. **Phương trình:** \( \sin(2x - \frac{\pi}{3}) = 0 \)

**Giải:**
\( 2x - \frac{\pi}{3} = k\pi \)
=> \( x = \frac{\pi}{6} + \frac{k\pi}{2} \)

7. **Phương trình:** \( \cos x = \frac{\sqrt{2}}{2} \)

**Giải:**
\( x = \frac{\pi}{4} + 2k\pi \) hoặc \( x = \frac{7\pi}{4} + 2k\pi \)

8. **Phương trình:** \( \cos\left(2x + \frac{\pi}{10}\right) = \cos\left(x - \frac{\pi}{4}\right) \)

**Giải:**
\( 2x + \frac{\pi}{10} = x - \frac{\pi}{4} + 2k\pi \) hoặc \( 2x + \frac{\pi}{10} = -\left(x - \frac{\pi}{4}\right) + 2k\pi \)

9. **Phương trình:** \( \cos(3x + 30^\circ) = \frac{1}{2} \)

**Giải:**
\( 3x + 30^\circ = 60^\circ + k \cdot 360^\circ \) hoặc \( 3x + 30^\circ = 300^\circ + k \cdot 360^\circ \)

10. **Phương trình:** \( \cos\left(x - \frac{\pi}{4}\right) = 1 \)

**Giải:**
\( x - \frac{\pi}{4} = 2k\pi \)
=> \( x = 2k\pi + \frac{\pi}{4} \)

11. **Phương trình:** \( \tan\left(x - \frac{\pi}{7}\right) = 1 \)

**Giải:**
\( x - \frac{\pi}{7} = \frac{\pi}{4} + k\pi \)
=> \( x = k\pi + \frac{3\pi}{28} \)

12. **Phương trình:** \( \cot\left(2x - \frac{\pi}{10}\right) = -\sqrt{3} \)

**Giải:**
\( 2x - \frac{\pi}{10} = \frac{5\pi}{6} + k\pi \) hoặc \( 2x - \frac{\pi}{10} = \frac{11\pi}{6} + k\pi \)

Bạn có thể kiểm tra và chọn các giá trị phù hợp cho \( k \) để tìm các nghiệm.