Để giải bài toán, đầu tiên chúng ta cần vẽ lại tam giác ABC với các thông số đã cho:

- \( BC = 16 \) cm
- \( \angle ABC = 45^\circ \)
- \( \angle ACB = 30^\circ \)

### a) Tính đoạn thẳng AN

Để tính AN, chúng ta có thể sử dụng công thức liên quan đến chiều cao (độ dài từ đỉnh A đến cạnh BC).

**Công thức tính chiều cao trong tam giác:**
\[
AN = BC \cdot \sin(A)
\]
Trong đó, \( A \) là góc A, mà ta có thể tính được như sau:
\[
\angle A = 180^\circ - \angle ABC - \angle ACB = 180^\circ - 45^\circ - 30^\circ = 105^\circ
\]

Áp dụng vào công thức:
\[
AN = BC \cdot \sin(A) = 16 \cdot \sin(105^\circ)
\]

Giá trị của \( \sin(105^\circ) \) có thể được tính bằng:
\[
\sin(105^\circ) = \sin(90^\circ + 15^\circ) = \cos(15^\circ)
\]
Từ bảng giá trị sin/cos thì \( \cos(15^\circ) \approx 0.9659 \).
\[
AN \approx 16 \cdot 0.9659 \approx 15.41 \text{ cm}
\]

### b) Tính cạnh AC

Để tính cạnh AC, chúng ta sử dụng định lý sin:
\[
\frac{AC}{\sin(ABC)} = \frac{BC}{\sin(ACB)}
\]

Thay vào các giá trị:
- \( \sin(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2} \)
- \( \sin(30^\circ) = \frac{1}{2} \)

Áp dụng vào công thức:
\[
\frac{AC}{\sin(45^\circ)} = \frac{BC}{\sin(30^\circ)}
\]
\[
\frac{AC}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{16}{\frac{1}{2}}
\]
\[
\frac{AC}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = 32
\]

Giải ra cho AC:
\[
AC = 32 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 16\sqrt{2} \approx 22.63 \text{ cm}
\]

### Kết luận:

a) Đoạn thẳng AN là khoảng \( 15.41 \) cm.

b) Cạnh AC là khoảng \( 22.63 \) cm.