Cho đa thức \( H = mx^2 + nxy + py^2 \) (x, y là biến). Biết khi \( x = 0, y = 1 \) thì \( H = -1 \); khi \( x = 2, y = 0 \) thì \( H = 8 \); khi \( x = -1, y = -1 \) thì \( H = 4 \). Vậy khi \( x = -2, y = 2 \) thì \( H = \ldots \)

Để giải bài toán này, ta sẽ sử dụng dữ liệu đã cho để lập hệ phương trình cho các hệ số \( m, n, p \).

Ta có ba điểm đã biết:

1. Khi \( x = 0, y = 1 \):
\[
H(0, 1) = m \cdot 0^2 + n \cdot 0 \cdot 1 + p \cdot 1^2 = p = -1
\]

2. Khi \( x = 2, y = 0 \):
\[
H(2, 0) = m \cdot 2^2 + n \cdot 2 \cdot 0 + p \cdot 0^2 = 4m = 8 \implies m = 2
\]

3. Khi \( x = -1, y = -1 \):
\[
H(-1, -1) = m \cdot (-1)^2 + n \cdot (-1)(-1) + p \cdot (-1)^2 = m + n + p = 4
\]

Thay giá trị \( m = 2 \) và \( p = -1 \) vào phương trình thứ ba:
\[
2 + n - 1 = 4 \implies n + 1 = 4 \implies n = 3
\]

Tóm lại, ta có:
\[
m = 2, \, n = 3, \, p = -1
\]

Do đó, đa thức \( H \) có dạng:
\[
H = 2x^2 + 3xy - y^2
\]

Sử dụng phương trình này để tính \( H(-2, 2) \):
\[
H(-2, 2) = 2(-2)^2 + 3(-2)(2) - (2)^2
\]
\[
= 2 \cdot 4 + 3 \cdot (-4) - 4
\]
\[
= 8 - 12 - 4
\]
\[
= 8 - 16 = -8
\]

Vậy khi \( x = -2, y = 2 \) thì \( H = -8 \).