Cho tam giác ABC, trung tuyến AM. Gọi I là trung điểm của AM, D là giao điểm của BI và AC

Để chứng minh \( AD = \frac{1}{3} AC \), ta sẽ sử dụng một số tính chất của tam giác và trung tuyến.

**Bước 1: Xác định các điểm**

- Gọi \( A, B, C \) là các đỉnh của tam giác.
- Gọi \( M \) là trung điểm của cạnh \( BC \).
- Gọi \( I \) là trung điểm của trung tuyến \( AM \).
- Gọi \( D \) là giao điểm của \( BI \) và \( AC \).

**Bước 2: Sử dụng định lý Menelaus cho tam giác**

Ta sẽ chứng minh rằng \( D \) chia đoạn \( AC \) theo tỉ lệ cụ thể bằng cách sử dụng định lý Menelaus. Theo định lý này, nếu một đường thẳng cắt ba cạnh (hoặc kéo dài ra của chúng) của một tam giác thì tỉ lệ giữa các đoạn mà đường thẳng chia các cạnh này sẽ giữ một tỉ lệ nhất định.

- Trong trường hợp này, chúng ta sẽ áp dụng định lý Menelaus cho tam giác \( AIC \) với đường thẳng \( BD \).

**Bước 3: Xác định các tỉ lệ**

- Ta có:
- \( AM \) là trung tuyến của tam giác, nên \( AB = AC \) (các cạnh được chia đều).
- Và vì \( I \) là trung điểm của \( AM \), tỉ lệ \( AI:IM = 1:1 \).

**Bước 4: Áp dụng định lý Menelaus**

Theo định lý Menelaus cho tam giác \( AIC \) với các điểm \( D \) (giao điểm của \( AC \) và \( BI \)):

\[
\frac{AB}{BC} \cdot \frac{CD}{DA} \cdot \frac{AI}{IM} = 1
\]

Vì \( D \) là giao điểm chia \( AC \), nên \( CD:DA = x:1-x \) (với \( AD = x \) và \( DC = 1-x \)).

Ứng với điều kiện của tam giác \( ABC \), ta sử dụng tỉ lệ, được xác định là:

- \( \frac{AI}{IM} = 1 \) (do \( I \) là trung điểm).

Từ đó, ta có:

\[
\frac{AB}{BC} \cdot x \cdot 1 = 1 \Rightarrow \frac{x}{1-x} = \frac{1}{2}
\]

Giải phương trình ta có \( x = \frac{1}{3} \).

**Kết luận:**

Tổng kết lại, ta thấy \( AD = \frac{1}{3} AC \), và ta đã chứng minh xong.

Hy vọng rằng những hướng dẫn trên sẽ giúp bạn hiểu và giải quyết bài tập này!