Để giải phương trình:

\[
\frac{x^2}{1 - 2x} + \frac{1 + 2x}{4} = 1
\]

ta bắt đầu bằng cách làm đơn giản hóa phương trình.

1. Đưa tất cả về cùng một phía:

\[
\frac{x^2}{1 - 2x} + \frac{1 + 2x}{4} - 1 = 0
\]

2. Cố gắng xác định mẫu chung. Mẫu chung sẽ là \(4(1 - 2x)\):

\[
\frac{4x^2}{4(1 - 2x)} + \frac{1 + 2x - 4}{4} = 0
\]

3. Sau khi giản ước phần số:

\[
\frac{4x^2 + (1 + 2x - 4)(1 - 2x)}{4(1 - 2x)} = 0
\]

4. Tính giá trị \(1 + 2x - 4\):

\[
1 + 2x - 4 = 2x - 3
\]

5. Thay vào biểu thức:

\[
\frac{4x^2 + (2x - 3)(1 - 2x)}{4(1 - 2x)} = 0
\]

6. Giải biểu thức trong dấu ngoặc:

\[
(2x - 3)(1 - 2x) = 2x - 4x^2 - 3 + 6x = -4x^2 + 8x - 3
\]

7. Phương trình giờ đây trở thành:

\[
4x^2 + (-4x^2 + 8x - 3) = 0
\]

8. Rút gọn:

\[
8x - 3 = 0
\]

9. Giải ra \(x\):

\[
8x = 3 \implies x = \frac{3}{8}
\]

10. Kiểm tra lại điều kiện của phương trình ban đầu, để đảm bảo rằng \(1 - 2x \neq 0\):

\[
1 - 2 \left(\frac{3}{8}\right) = 1 - \frac{6}{8} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4} \neq 0
\]

Do đó, nghiệm của phương trình là:

\[
\boxed{\frac{3}{8}}
\]