Cho góc nhọn xay vẽ cung tròn tâm A bán kính 3cm

Để chứng minh rằng AM là phân giác của góc xay \( \angle XAY \), chúng ta sẽ sử dụng một số tính chất hình học liên quan đến hai cung tròn và các đoạn thẳng.

1. **Giả thiết:**
- Ta có góc nhọn \( \angle XAY \).
- Vẽ cung tròn tâm A bán kính 3 cm, cắt Ax tại B và Ay tại C.
- Vẽ 2 cung tròn tâm B và C, bán kính 4 cm, cắt nhau tại điểm M.

2. **Tính chất của đoạn AM:**
- Theo giả thiết, chúng ta có \( AB = AC = 3 \, cm \).
- Đoạn BM và CM đều có độ dài bằng bán kính của hai cung tròn tâm B và C, tức là \( BM = CM = 4 \, cm \).

3. **Xét tam giác ABM và ACM:**
- Trong tam giác ABM:
- Ta có \( AB = 3 \, cm \), \( BM = 4 \, cm \).
- Theo định lý Cosine, ta tính độ dài AM:

\[
AM^2 = AB^2 + BM^2 - 2 \cdot AB \cdot BM \cdot \cos(\angle ABM)
\]

- Trong tam giác ACM:
- Tương tự, ta có \( AC = 3 \, cm \), \( CM = 4 \, cm \).

\[
AM^2 = AC^2 + CM^2 - 2 \cdot AC \cdot CM \cdot \cos(\angle ACM)
\]

4. **Phân giác của góc:**
- Nếu AM là phân giác của \( \angle XAY \), thì:

\[
\frac{AB}{AC} = \frac{BM}{CM}
\]

- Vì \( AB = AC = 3 \, cm \) và \( BM = CM = 4 \, cm \), ta có:

\[
\frac{AB}{AC} = \frac{3}{3} = 1 = \frac{BM}{CM} = \frac{4}{4}
\]

5. **Kết luận:**
- Vì tỉ số giữa các đoạn thẳng bằng nhau, nên AM là phân giác của góc \( \angle XAY \).

Vậy AM là phân giác của góc nhọn \( \angle XAY \). Q.E.D.