Để giải bất phương trình \((x + \frac{4}{7})x(x - \frac{3}{5}) < 0\), ta sẽ tìm các nghiệm của đa thức bên trái và phân tích dấu.

### Bước 1: Tìm nghiệm của phương trình
Đặt:
\[
f(x) = (x + \frac{4}{7})x(x - \frac{3}{5})
\]
Bất phương trình cần giải là \(f(x) < 0\).

**Tìm nghiệm của từng yếu tố:**
1. \(x + \frac{4}{7} = 0 \Rightarrow x = -\frac{4}{7}\)
2. \(x = 0\)
3. \(x - \frac{3}{5} = 0 \Rightarrow x = \frac{3}{5}\)

### Bước 2: Tập nghiệm
Các nghiệm tìm được là:
- \(x = -\frac{4}{7}\)
- \(x = 0\)
- \(x = \frac{3}{5}\)

### Bước 3: Chia các khoảng xác định dấu
Chia trục số thành các khoảng dựa trên các nghiệm này:
1. \((- \infty, -\frac{4}{7})\)
2. \((- \frac{4}{7}, 0)\)
3. \((0, \frac{3}{5})\)
4. \((\frac{3}{5}, +\infty)\)

### Bước 4: Phân tích dấu của \(f(x)\)
Ta chọn một số trong mỗi khoảng để kiểm tra dấu của \(f(x)\):

1. **Khoảng \((- \infty, -\frac{4}{7})\)**: Chọn \(x = -1\)
\[
f(-1) = (-1 + \frac{4}{7})(-1)(-1 - \frac{3}{5}) = \left(-\frac{3}{7}\right)(-1)\left(-\frac{8}{5}\right) > 0
\]

2. **Khoảng \((- \frac{4}{7}, 0)\)**: Chọn \(x = -\frac{1}{2}\)
\[
f(-\frac{1}{2}) = (-\frac{1}{2} + \frac{4}{7})(-\frac{1}{2})(-\frac{1}{2} - \frac{3}{5})
\]
Tính từng phần:
- \(-\frac{1}{2} + \frac{4}{7} = -\frac{7}{14} + \frac{8}{14} = \frac{1}{14}\)
- \(-\frac{1}{2} - \frac{3}{5} = -\frac{5}{10} - \frac{6}{10} = -\frac{11}{10}\)
Như vậy:
\[
f(-\frac{1}{2}) = \left(\frac{1}{14}\right)(-\frac{1}{2})(-\frac{11}{10}) < 0
\]

3. **Khoảng \((0, \frac{3}{5})\)**: Chọn \(x = \frac{1}{2}\)
\[
f(\frac{1}{2}) = \left(\frac{1}{2} + \frac{4}{7}\right) \frac{1}{2} \left(\frac{1}{2} - \frac{3}{5}\right)
\]
Tính từng phần:
- \(\frac{1}{2} + \frac{4}{7} = \frac{7}{14} + \frac{8}{14} = \frac{15}{14}\)
- \(\frac{1}{2} - \frac{3}{5} = \frac{5}{10} - \frac{6}{10} = -\frac{1}{10}\)
Như vậy:
\[
f(\frac{1}{2}) = \left(\frac{15}{14}\right) \left(\frac{1}{2}\right) \left(-\frac{1}{10}\right) < 0
\]

4. **Khoảng \((\frac{3}{5}, +\infty)\)**: Chọn \(x = 1\)
\[
f(1) = (1 + \frac{4}{7})(1)(1 - \frac{3}{5}) = \left(\frac{11}{7}\right)(1)\left(\frac{2}{5}\right) > 0
\]

### Bước 5: Kết luận
Kết quả phân tích dấu như sau:
- \(f(x) > 0\) trên \((- \infty, -\frac{4}{7})\) và \((\frac{3}{5}, +\infty)\)
- \(f(x) < 0\) trên \((- \frac{4}{7}, 0)\) và \((0, \frac{3}{5})\)

**Vậy nghiệm của bất phương trình \((x + \frac{4}{7})x(x - \frac{3}{5}) < 0\) là:**
\[
x \in (-\frac{4}{7}, 0) \cup (0, \frac{3}{5})
\]