Cho parabol ( P) :

Để giải bài toán này, ta sẽ phân tích từng phần theo yêu cầu:

### 1. Xác định \(m\) để tung độ đỉnh của parabol \((P)\) là 4.
Đỉnh của parabol có phương trình \(y = ax^2 + bx + c\) được xác định bằng công thức:
\[
y_v = -\frac{b}{2a}
\]
Với phương trình \(y = x^2 - mx + 2m\), ta có \(a = 1\) và \(b = -m\).
Do đó:
\[
y_v = -\frac{-m}{2 \cdot 1} = \frac{m}{2}
\]
Để tung độ đỉnh bằng 4, ta có:
\[
\frac{m}{2} = 4 \implies m = 8
\]

### 2. Xác định \(m\) để đỉnh của \((P)\) thuộc đường thẳng \(x = -2\).
Tung độ đỉnh:
\[
x_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{-m}{2 \cdot 1} = \frac{m}{2}
\]
Ta cần \(x_v = -2\):
\[
\frac{m}{2} = -2 \implies m = -4
\]

### 3. Xác định \(m\) để đỉnh của \((P)\) nằm phía trên đường thẳng \(y = 2\).
Để đỉnh nằm phía trên đường thẳng \(y = 2\), ta cần:
\[
y_v > 2 \implies \frac{m}{2} > 2 \implies m > 4
\]

### 4. Xác định \(m\) để đỉnh của \((P)\) thuộc đường thẳng \(y = 3x - 1\).
Đầu tiên, ta tính tọa độ đỉnh \((x_v, y_v)\):
\[
x_v = \frac{m}{2}, \quad y_v = 4 \text{ (từ câu a)}
\]
Giải phương trình \(y = 3x - 1\) tại \(x = \frac{m}{2}\):
\[
y = 3\left(\frac{m}{2}\right) - 1 = \frac{3m}{2} - 1
\]
Để đỉnh thuộc đường thẳng này, ta có:
\[
4 = \frac{3m}{2} - 1 \implies 5 = \frac{3m}{2} \implies m = \frac{10}{3}
\]

### Kết luận:
- a) \(m = 8\)
- b) \(m = -4\)
- c) \(m > 4\)
- d) \(m = \frac{10}{3}\)