Hình hộp trên có độ dài cạnh đáy là \(x\) (cm, \(x > 0\)) và chiều cao là \(h\) (cm, \(h > 0\)).

Diện tích bề mặt của hình hộp là \(108\) cm2 nên \({x^2} + 4xh = 108\).

Suy ra \(h = \frac}\) (cm).

Thể tích của hình hộp là: \(V = {x^2} \cdot h = {x^2} \cdot \frac} = \frac}{4}\) (cm3).

Xét hàm số \(V\left( x \right) = \frac}{4}\) với \(x \in \left( {0; + \infty } \right)\).

Ta có: \(V'\left( x \right) = \frac{{ - 3{x^2} + 108}}{4}\). Trên khoảng \(\left( {0; + \infty } \right)\), \(V'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x = 6\).

Bảng biến thiên của hàm số \(V\left( x \right)\) như sau:

Do đó, thể tích của hình hộp lớn nhất khi độ dài cạnh đáy là \(x = 6\) cm.

Khi đó, chiều cao của hình hộp là \(h = \frac} = 3\) (cm).

Vậy \({x_0} = 6,{h_0} = 3\) và \({x_0} + {h_0} = 9\).

Đáp số: \(9\).