Để tính các góc và diện tích của tam giác ABC vuông tại A với cạnh AB = 10 cm và đường cao AH = 5 cm, chúng ta sẽ làm theo các bước sau:

### 1. Tính Diện Tích của Tam Giác ABC
Diện tích của tam giác có thể tính bằng công thức:
\[
S = \frac{1}{2} \times \text{đáy} \times \text{chiều cao}
\]
Ở đây, đáy là cạnh AB và chiều cao là AH:
\[
S = \frac{1}{2} \times 10 \, \text{cm} \times 5 \, \text{cm} = 25 \, \text{cm}^2
\]

### 2. Tính Cạnh AC và BC
Vì tam giác ABC vuông tại A, chúng ta có thể sử dụng định lý Pythagoras để tính các cạnh AC và BC. Để tính AC và BC, ta cũng biết rằng:
\[
AH = \frac{AB \times AC}{BC}
\]
Từ đây, chúng ta có thể tìm BC. Đặt BC = x, ta có:
\[
5 = \frac{10 \times AC}{x}
\]
Suy ra:
\[
x = 2 \times AC
\]

Bây giờ áp dụng định lý Pythagoras vào tam giác ABC:
\[
AB^2 + AC^2 = BC^2
\]

Thay AB = 10 cm và BC = 2AC vào công thức:
\[
10^2 + AC^2 = (2AC)^2
\]
\[
100 + AC^2 = 4AC^2
\]
\[
100 = 4AC^2 - AC^2
\]
\[
100 = 3AC^2 \implies AC^2 = \frac{100}{3} \implies AC = \frac{10}{\sqrt{3}} = \frac{10\sqrt{3}}{3} \, \text{cm}
\]

Bây giờ tìm BC:
\[
BC = 2AC = 2 \times \frac{10}{\sqrt{3}} = \frac{20}{\sqrt{3}} = \frac{20\sqrt{3}}{3} \, \text{cm}
\]

### 3. Tính Các Góc Của Tam Giác ABC
Sử dụng hàm sin để tính góc B và góc C:

##### Tính góc B:
\[
\sin B = \frac{AH}{AB} = \frac{5}{10} = \frac{1}{2} \implies B = 30^\circ
\]

##### Tính góc C:
\[
C = 90^\circ - B = 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ
\]

### Kết Luận
- Diện tích của tam giác ABC là \( 25 \, \text{cm}^2 \).
- Các góc của tam giác ABC là:
- Góc A = \( 90^\circ \)
- Góc B = \( 30^\circ \)
- Góc C = \( 60^\circ \)
- Cạnh AC = \( \frac{10\sqrt{3}}{3} \, \text{cm} \)
- Cạnh BC = \( \frac{20\sqrt{3}}{3} \, \text{cm} \)

Vậy tam giác ABC có diện tích 25 cm² và các góc lần lượt là 90°, 30°, và 60°.