Đồ thị \(\left( H \right)\) có tiệm cận đứng là đường thẳng \({\Delta _1}:x =  - 1\) và tiệm cận ngang là đường thẳng \({\Delta _2}:y = 4\).

Gọi \(M\left( {{x_0};\frac{{4{x_0} - 5}}{{{x_0} + 1}}} \right) \in \left( H \right)\), \({x_0} \ne  - 1,{x_0} < 0\).

Khi đó, ta có: \({d_1} = d\left( {M,{\Delta _1}} \right) = \left| {{x_0} + 1} \right|\) và \({d_2} = d\left( {M,{\Delta _2}} \right) = \frac{9}{{\left| {{x_0} + 1} \right|}}.\)

\( \Rightarrow {d_1}.{d_2} = \left| {{x_0} + 1} \right|.\frac{9}{{\left| {{x_0} + 1} \right|}} = 9\).

Ta có: \({d_1} + {d_2} \ge 2\sqrt {{d_1}{d_2}}  = 6\) nên \(\min \left( {{d_1} + {d_2}} \right) = 6\) khi \({d_1} = {d_2} \Leftrightarrow \left| {{x_0} + 1} \right| = \frac{9}{{\left| {{x_0} + 1} \right|}}.\) 

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x_0} = 2\\{x_0} =  - 4\end{array} \right.\)

Do \({x_0} < 0\) nên chọn \({x_0} =  - 4\), khi đó \(M\left( { - 4;7} \right) \Rightarrow S = 9.\)