Để giải bài toán, chúng ta sẽ bắt đầu từ một số giả thiết và hệ quả trong hình học.

### A. Chứng minh tứ giác ABEC là hình thoi

1. **Đặt các điểm và tính chất:**
- Giả sử hình thang ABCD có AB = AC, M là trung điểm của BC.
- Ta có MA = ME và E nằm trên tia đối của MA.

2. **Chứng minh các cạnh AB, AE, BE, AC:**
- Từ điều kiện cho trước, chúng ta biết được MA = ME.
- E được lấy trên tia đối của MA nên |ME| = |MA|.
- Do đó, trong tam giác AME, ta có:
\[
AE = AM + ME = MA + MA = 2MA
\]
- Tương tự, trong tam giác BEM, ta cũng có:
\[
BE = BM + ME = \frac{1}{2}BC + MA
\]
- Nhưng vì M là trung điểm của BC nên AB = AC (điều kiện cho trước trong bài toán).

3. **Chứng minh AB = AE và BE = AC:**
- Từ điều kiện AB = AC và việc E nằm đối diện với M cho thấy AB = BE = AE = AC.
- Với 4 cạnh AB, AE, BE, AC đều bằng nhau, ta có thể kết luận rằng tứ giác ABEC là hình thoi.

### B. Chứng minh C là trung điểm của DE

1. **Xét vị trí của các điểm:**
- Bắt đầu từ xác định vị trí của E. E nằm trên tia đối của MA, tức là E nằm về một hướng khác với A, về phía bên kia điểm M.
- Do đó, ta sẽ cần sử dụng tam giác và tính chất của đường trung trực để tìm ra mối liên hệ giữa D và E.

2. **Sử dụng định lý về trung điểm:**
- M là trung điểm của BC:
\[
BM = MC
\]
- Xét tứ giác ABEC, từ tính chất tứ giác và các định luật về cạnh, ta có DE || AB và DE || AC, nên E cũng thuộc đường trung trực của BC.
- Qua việc tìm ra vị trí của D và E, chúng ta có thể khẳng định rằng E nằm chính giữa D và C.

3. **Kết luận:**
- Do đó, C chính là trung điểm của DE.

### Kết quả cuối cùng:
- Tứ giác ABEC là hình thoi và C là trung điểm của DE.