Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số sau:

Để khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số đã cho, ta thực hiện các bước như sau: xác định đạo hàm, tìm các điểm cực trị, xác định khoảng đồng biến và nghịch biến, cũng như xét sự biến thiên tại các khoảng đó.

### a. Hàm số: \( y = x^3 - 3x^2 + 1 \)

1. **Tính đạo hàm:**
\[
y' = 3x^2 - 6x = 3x(x - 2)
\]

2. **Tìm điểm cực trị:**
\[
y' = 0 \implies 3x(x - 2) = 0 \implies x = 0 \text{ hoặc } x = 2
\]

3. **Xét dấu đạo hàm:**
- Khi \( x < 0 \): \( y' > 0 \) (tăng)
- Khi \( 0 < x < 2 \): \( y' < 0 \) (giảm)
- Khi \( x > 2 \): \( y' > 0 \) (tăng)

4. **Giá trị hàm tại các điểm cực trị:**
\[
y(0) = 1, \quad y(2) = -3
\]

5. **Bảng biến thiên:**

| Khoảng | Hàm tăng/giảm | Giá trị |
|----------|----------------|-----------------------|
| \( (-\infty, 0) \) | Tăng | \( y \to +\infty \) |
| \( [0, 2] \) | Giảm | \( y = 1 \to -3 \) |
| \( (2, +\infty) \) | Tăng | \( y = -3 \to +\infty \) |

### b. Hàm số: \( y = -2x^3 - 3x^2 + 1 \)

1. **Tính đạo hàm:**
\[
y' = -6x^2 - 6x = -6x(x + 1)
\]

2. **Tìm điểm cực trị:**
\[
y' = 0 \implies -6x(x + 1) = 0 \implies x = 0 \text{ hoặc } x = -1
\]

3. **Xét dấu đạo hàm:**
- Khi \( x < -1 \): \( y' > 0 \) (tăng)
- Khi \( -1 < x < 0 \): \( y' < 0 \) (giảm)
- Khi \( x > 0 \): \( y' < 0 \) (giảm)

4. **Giá trị hàm tại các điểm cực trị:**
\[
y(-1) = 0, \quad y(0) = 1
\]

5. **Bảng biến thiên:**

| Khoảng | Hàm tăng/giảm | Giá trị |
|----------|----------------|----------------------|
| \( (-\infty, -1) \) | Tăng | \( y \to +\infty \) |
| \( [-1, 0) \) | Giảm | \( y = 0 \to 1 \) |
| \( (0, +\infty) \) | Giảm | \( y = 1 \to -\infty \) |

### c. Hàm số: \( y = x^3 + 3x^2 + 3x + 2 \)

1. **Tính đạo hàm:**
\[
y' = 3x^2 + 6x + 3 = 3(x^2 + 2x + 1) = 3(x + 1)^2
\]

2. **Tìm điểm cực trị:**
\[
y' = 0 \implies (x + 1)^2 = 0 \implies x = -1
\]

3. **Xét dấu đạo hàm:**
- \( y' > 0 \) với mọi \( x \neq -1 \)
- Tại \( x = -1 \), \( y' = 0 \) tạo thành điểm cực tiểu.

4. **Giá trị hàm tại điểm cực trị:**
\[
y(-1) = 1
\]

5. **Bảng biến thiên:**

| Khoảng | Hàm tăng/giảm | Giá trị |
|----------|----------------|----------------------|
| \( (-\infty, -1) \) | Giảm | \( y \to -\infty \) |
| \( [-1, +\infty) \) | Tăng | \( y = 1 \to +\infty \) |

### d. Hàm số: \( y = x^3 - 3x^2 + 4x - 2 \)

1. **Tính đạo hàm:**
\[
y' = 3x^2 - 6x + 4
\]

2. **Giải phương trình bậc 2:**
Tính discriminant \( D \):
\[
D = (-6)^2 - 4 \times 3 \times 4 = 36 - 48 = -12 < 0
\]
(Hàm luôn dương, không có điểm cực trị.)

3. **Xét dấu đạo hàm:**
- \( y' > 0 \) với mọi \( x \).

4. **Bảng biến thiên:**

| Khoảng | Hàm tăng/giảm | Giá trị |
|----------------|----------------|------------------------|
| \( (-\infty, +\infty) \) | Tăng | \( y \to -\infty \text{ khi } x \to -\infty \) và \( y \to +\infty \text{ khi } x \to +\infty \) |

### Vẽ đồ thị:
Để vẽ đồ thị, cần xác định các điểm đặc biệt và mức giá trị tại các điểm quan trọng đã tính toán. Bạn có thể vẽ bằng tay hoặc dùng các phần mềm như GeoGebra, Desmos để trực quan hóa các hàm số này. Note rằng đồ thị của hàm số bậc ba sẽ có hình dạng cơ bản là hình chữ S hoặc chữ N, với các điểm cực trị (nếu có) tương ứng với nơi thay đổi từ tăng sang giảm hoặc ngược lại.