Để tính các độ dài \(AC\) và \(BC\) trong tam giác nhọn \(ABC\) với các yếu tố đã cho, ta có thể sử dụng định lý Pythagoras trong tam giác vuông \(ABH\).

1. **Tính \(BH\)**:
Ta biết rằng \(HC = 16\) cm. Vì \(H\) là chân đường vuông góc từ \(A\) xuống \(BC\), ta có:
\[
BC = BH + HC
\]
Gọi \(BH = x\) thì:
\[
BC = x + 16
\]

2. **Áp dụng định lý Pythagoras trong tam giác vuông \(ABH\)**:
\[
AB^2 = AH^2 + BH^2
\]
Thay các giá trị đã biết vào:
\[
13^2 = 12^2 + x^2
\]
\[
169 = 144 + x^2
\]
\[
x^2 = 169 - 144 = 25 \Rightarrow x = 5 \text{ cm}
\]

3. **Tính \(BC\)**:
Thay giá trị \(BH = 5\) cm vào công thức \(BC = BH + HC\):
\[
BC = 5 + 16 = 21 \text{ cm}
\]

4. **Tính \(AC\)**:
Áp dụng định lý Pythagoras trong tam giác vuông \(ACH\):
\[
AC^2 = AH^2 + HC^2
\]
Thay các giá trị đã biết vào:
\[
AC^2 = 12^2 + 16^2
\]
\[
AC^2 = 144 + 256 = 400 \Rightarrow AC = \sqrt{400} = 20 \text{ cm}
\]

### Kết quả:
- Độ dài \(AC = 20\) cm
- Độ dài \(BC = 21\) cm