Cho hình vuông ABCD. Trên các cạnh AD, DC lần lượt lấy các điểm E, F sao cho AE = DF

Cho hình vuông ABCD với các điểm E trên cạnh AD và F trên cạnh DC sao cho AE = DF. Ta cần chứng minh hai điều sau:

### a) Chứng minh các tam giác ADF và BAE bằng nhau.

Để chứng minh \( \triangle ADF \cong \triangle BAE \), ta sẽ sử dụng tiêu chí cạnh-cạnh-cạnh (CAC).

1. **Cạnh AD bằng cạnh BC**: Vì ABCD là hình vuông, ta có \( AD = AB = BC = CD \).

2. **Cạnh AE bằng cạnh DF**: Theo giả thiết, ta có \( AE = DF \).

3. **Cạnh AF bằng cạnh BE**: Vì AF là cạnh của hình vuông, và BE cũng là cạnh của hình vuông, ta có \( AF = BE \).

Từ 3 yếu tố trên, ta có:

- \( AD = BC \)
- \( AE = DF \)
- \( AF = BE \)

Vì vậy, theo tiêu chí CAC, ta suy ra được \( \triangle ADF \cong \triangle BAE \).

### b) Chứng minh BE vuông góc với AF.

Ta cần chứng minh rằng góc giữa hai đoạn thẳng BE và AF là 90 độ. Ta sẽ sử dụng thông tin từ tam giác ADF và BAE đã chứng minh ở trên.

1. **Tam giác ADF và BAE đã bằng nhau**: Từ lý thuyết tam giác vừa chứng minh, ta có các góc tương ứng bằng nhau:
- \( \angle ADF = \angle BAE \)
- \( \angle DAF = \angle ABE \)

2. **Góc trong hình vuông**: Trong hình vuông ABCD, ta có \( \angle DAB = 90^\circ \) và \( \angle ABC = 90^\circ \).

Từ đó, ta có thể lập luận như sau:

- Nếu \( \angle ADF \) và \( \angle DAB \) (cùng với góc ADF) là hai góc trong cùng một tam giác, thì tổng các góc trong tam giác ADF là 180 độ, vậy \( \angle ADF + \angle DAB + \angle AFD = 180^\circ \).

- Vì \( \angle DAB = 90^\circ \), nên \( \angle ADF + \angle AFD = 90^\circ \).

Do đó, \( \angle ADF + \angle ABE = 90^\circ \implies BE \perp AF \).

### Kết luận:

Từ các chứng minh trên, ta có thể kết luận:
a) Các tam giác ADF và BAE bằng nhau.
b) BE vuông góc với AF.