1) Vì \(AB,\,\,AC\) lần lượt là hai tiếp tuyến của đường tròn \(\left( O \right)\) tại \(B,C\) nên \(AB \bot OB,\,\,AC \bot OC.\)

Do \(\Delta OAB\) vuông tại \(B\) nên đường tròn ngoại tiếp tam giác \(\Delta OAB\) có tâm là trung điểm của cạnh huyền \(OA.\) Tức là ba điểm \(O,\,\,A,\,\,B\) cùng thuộc đường tròn đường kính \(OA.\)

Chứng minh tương tự đối với \(\Delta OAC\) vuông tại \(C\) ta có ba điểm \(O,\,\,A,\,\,C\) cùng thuộc đường tròn đường kính \(OA.\)

Vậy tứ giác \(ABOC\) nội tiếp đường tròn đường kính \(OA.\)

2) Gọi \(G\) là giao điểm của \(AD\) và \(OE.\) Nối \(CD,\,\,GC.\)

Xét đường tròn \(\left( O \right)\) có \(BD\) là đường kính nên \(\widehat {BCD} = 90^\circ \) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn).

Do đó \(\widehat {DCE} = 90^\circ \) nên \(\Delta CDE\) vuông tại \(C,\) chứng minh tương tự câu a, ta có ba điểm \(C,\,\,D,\,\,E\) cùng nằm trên đường tròn đường kính \(DE.\)

Ta có \(OE \bot CD\) tại \(G\) nên \(\widehat {OGA} = \widehat {DGE} = 90^\circ .\)

Tam giác \(DGE\) vuông tại \(G\) nên ba điểm \(D,\,\,G,\,\,E\) cùng nằm trên đường tròn đường kính \(DE.\)

Do đó tứ giác \(CGDE\) nội tiếp đường tròn đường kính \(DE.\)

Suy ra \(\widehat {CDE} = \widehat {CGE}\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung \(CE)\).   (1)

Chứng minh tương tự, ta có tứ giác \(OACG\) nội tiếp đường tròn đường kính \(OA.\)

Suy ra \(\widehat {CGO} + \widehat {OAC} = 180^\circ \) (tổng hai góc đối nhau của tứ giác nội tiếp)

Mà \(\widehat {CGO} + \widehat {CGE} = 180^\circ \) (hai góc kề bù)

Do đó \(\widehat {OAC} = \widehat {CGE}\).

Theo câu a, tứ giác \(ABOC\) nội tiếp đường tròn đường kính \(OA\) nên \[\widehat {OAC} = \widehat {OBC}\] (hai góc nội tiếp cùng chắn cung \(OC)\).

Suy ra \(\widehat {CGE} = \widehat {OBC}\).  (2)

Từ (1) và (2) suy ra \(\widehat {CDE} = \widehat {OBC}\) hay \(\widehat {CDE} = \widehat {DBC}.\)

Lại có \(\widehat {DBC} + \widehat {BDC} = 90^\circ \) (tổng hai góc nhọn của \(\Delta BCD\) vuông tại \(C)\)

Suy ra \(\widehat {CDE} + \widehat {BDC} = 90^\circ \) hay \(\widehat {ODE} = 90^\circ \)

Do đó \(ED \bot OD\) tại điểm \(D\) thuộc đường tròn \(\left( O \right)\)

Vậy \(ED\) là tiếp tuyến của đường tròn \(\left( O \right).\)