Để giải bài toán, ta cần thực hiện các bước sau:

### a) Tính số đo A, độ dài AB, EF

1. **Tính góc A**:
- Trong tam giác vuông \(ABC\) tại \(C\), ta có:
\[
\tan(A) = \frac{BC}{AC} = \frac{15}{20} = \frac{3}{4}
\]
- Sử dụng hằng số góc, ta có:
\[
A = \tan^{-1}\left(\frac{3}{4}\right)
\]

2. **Tính độ dài AB**:
- Sử dụng định lý Pythagore:
\[
AB = \sqrt{AC^2 + BC^2} = \sqrt{20^2 + 15^2} = \sqrt{400 + 225} = \sqrt{625} = 25 \text{ cm}
\]

3. **Tính độ dài EF**:
- Dựa vào tính chất hình thang vuông với đáy là \(AC\) và \(BC\):
- Tính chiều dài đoạn \(EF\) bằng cách sử dụng định lí sin trên tam giác \(CHE\) và \(CHF\). Tuy nhiên, sử dụng diện tích cũng là một phương pháp hiệu quả:
- Diện tích \(S\) của tam giác \(ABC\):
\[
S = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BC = \frac{1}{2} \cdot 20 \cdot 15 = 150 \text{ cm}^2
\]
- Độ dài đường cao \(CH\) được tính như sau:
\[
S = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot CH \implies 150 = \frac{1}{2} \cdot 25 \cdot CH \implies CH = \frac{150 \cdot 2}{25} = 12 \text{ cm}
\]
- Nếu chiều dài đoạn \(EF\) là chiều dài của đường cao tại đường chéo thì ta sử dụng tỉ lệ.
- Dựa vào hình vẽ, ta có thể áp dụng tỉ lệ tứ giác:
\[
EF = \frac{AC \cdot BC}{AB} = \frac{20 \cdot 15}{25} = 12 \text{ cm}
\]

### b) Chứng minh rằng \( AC \cdot EC = BC \cdot FC \)

- Từ thiết lập \(H\) là chân đường cao từ \(C\), ta có:
- Góc \(E\) ở \(A\) và góc \(F\) ở \(B\) là những góc vuông.
- Theo định lý tỉ lệ trong tam giác:
\[
\frac{AC}{AB} = \frac{EC}{FC}
\]
- Do đó, điều này dẫn đến kết luận:
\[
AC \cdot EC = BC \cdot FC
\]
Chứng minh hoàn tất.