Để chứng minh các yêu cầu trong bài toán, chúng ta sẽ làm theo từng bước:

### a) Chứng minh tứ giác AMDN là hình bình hành

Giả sử tam giác ABC cân tại A với AB = AC. Gọi D là một điểm trên cạnh BC. Vẽ DM // AC và DN // AB. Khi đó, chúng ta có:

- \( \angle AMN = \angle ACB \) (bởi vì DM // AC)
- \( \angle AND = \angle ABC \) (bởi vì DN // AB)

Ngoài ra, vì tam giác ABC cân tại A, nên:

- \( \angle ACB = \angle ABC \)

Vì vậy, từ hai cặp góc trên, ta có:

\[
\angle AMN = \angle AND
\]
Điều này có nghĩa là các đoạn AM và DN là song song với nhau và MN và AD cũng song song. Do đó, tứ giác AMDN có các cặp cạnh đối diện song song, nên tứ giác AMDN là hình bình hành.

### b) Chứng minh tam giác MBD cân tại M

Xét tam giác MBD, do D thuộc BC và M thuộc AB, ta có:

- Từ cách vẽ DM // AC, ta có MB // AC.
- Từ cách vẽ DN // AB, ta có MD // AB.

Suy ra, \( MB = MD \), nên tam giác MBD là tam giác cân tại M.

### c) Chứng minh DM + DN không thay đổi khi D thay đổi trên cạnh BC

Khi D di chuyển trên cạnh BC, các đường thẳng DM và DN vẫn luôn song song với AC và AB. Do đó, chiều dài DM và DN phụ thuộc vào chiều dài của hai cạnh AC và AB, được giữ nguyên không thay đổi.

Bởi vì tam giác ABC là tam giác cân tại A với AB = AC, nên DM + DN không thay đổi bất kể vị trí của D. Điều này chứng minh rằng DM + DN là một hằng số.

### d) Tính DM + DN biết AC = 10 cm

Giả sử AC = 10 cm. Do tính chất của hình bình hành AMDN nhưng không phụ thuộc vào vị trí của D, chúng ta có:

\[
DM + DN = AC = 10 \text{ cm}
\]

### Vẽ hình

Hình ảnh minh họa có thể đươc mô tả như sau:

1. Vẽ tam giác ABC cân tại A.
2. Vẽ điểm D thuộc cạnh BC.
3. Vẽ đường thẳng DM // AC.
4. Vẽ đường thẳng DN // AB.
5. Đánh dấu điểm M trên AB và điểm N trên AC.

Hình vẽ này sẽ thể hiện được các yếu tố đã trình bày ở trên với các điểm A, B, C, D, M, N và các đoạn thẳng.

### Kết luận

Tóm lại, chúng ta đã chứng minh được các yêu cầu trong bài toán: tứ giác AMDN là hình bình hành, tam giác MBD cân tại M, tổng chiều dài DM + DN không thay đổi khi D thay đổi trên cạnh BC, và cuối cùng tổng DM + DN bằng 10 cm khi AC = 10 cm.