Đầu tiên, ta tính chu vi hình chữ nhật.

- Chiều rộng của hình chữ nhật là 2 cm.
- Chiều dài của hình chữ nhật gấp hai lần chiều rộng, nên chiều dài là:
\[
2 \times 2 = 4 \text{ cm}.
\]

Bây giờ, ta tính chu vi của hình chữ nhật:
\[
\text{Chu vi} = 2 \times (\text{chiều dài} + \text{chiều rộng}) = 2 \times (4 + 2) = 2 \times 6 = 12 \text{ cm}.
\]

Chu vi của hình vuông bằng chu vi của hình chữ nhật, tức là 12 cm.

Gọi cạnh của hình vuông là \( a \). Ta có chu vi hình vuông được tính bằng:
\[
\text{Chu vi} = 4a.
\]
Do đó, ta có phương trình:
\[
4a = 12.
\]
Giải phương trình này để tìm \( a \):
\[
a = \frac{12}{4} = 3 \text{ cm}.
\]

Cuối cùng, ta tính diện tích của hình vuông:
\[
\text{Diện tích} = a^2 = 3^2 = 9 \text{ cm}^2.
\]

Vậy diện tích hình vuông là **9 cm²**.