Để tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \( P = x + y + \frac{6}{x} + \frac{24}{y} \) với điều kiện \( x + y \leq 6 \) và \( x, y > 0 \), ta thực hiện các bước sau:

1. **Thay thế**: Đặt \( y = 6 - x \) (do \( x + y \leq 6 \)).

Thay vào biểu thức \( P \):
\[
P = x + (6 - x) + \frac{6}{x} + \frac{24}{6 - x} = 6 + \frac{6}{x} + \frac{24}{6 - x}
\]

2. **Xác định miền**: Xét miền xác định của \( x \):
- \( 0 < x < 6 \)

3. **Tìm cực trị**: Tính đạo hàm của \( P \) theo \( x \):
\[
P' = \frac{d}{dx} \left( 6 + \frac{6}{x} + \frac{24}{6 - x} \right)
\]
Tính từng thành phần:
\[
P' = -\frac{6}{x^2} + \frac{24}{(6 - x)^2}
\]
Đặt đạo hàm bằng 0 để tìm điểm cực trị:
\[
-\frac{6}{x^2} + \frac{24}{(6 - x)^2} = 0
\]
Suy ra:
\[
\frac{24}{(6 - x)^2} = \frac{6}{x^2}
\]
Giải phương trình này:
\[
24x^2 = 6(6 - x)^2
\]
Phát triển và rút gọn:
\[
24x^2 = 6(36 - 12x + x^2)
\]
\[
24x^2 = 216 - 72x + 6x^2
\]
\[
18x^2 + 72x - 216 = 0
\]
Chia cho 6:
\[
3x^2 + 12x - 36 = 0
\]
Ứng dụng công thức giải phương trình bậc 2:
\[
x = \frac{-12 \pm \sqrt{12^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-36)}}{2 \cdot 3}
\]
\[
= \frac{-12 \pm \sqrt{144 + 432}}{6} = \frac{-12 \pm 24}{6}
\]
Ta có hai nghiệm:
\[
x = 2 \quad \text{(chấp nhận)} \quad x = -6 \quad \text{(loại)}
\]
Khi \( x = 2 \), ta có \( y = 6 - 2 = 4 \).

4. **Tính giá trị của \( P \)**:
\[
P(2, 4) = 2 + 4 + \frac{6}{2} + \frac{24}{4} = 6 + 3 + 6 = 15
\]

5. **Kiểm tra biên**: Tại \( x = 0 \) và \( x = 6 \) (không được phép vì \( x, y > 0 \)), nên ta chỉ cần xem xét giá trị tại điểm nội suy mà ta vừa tìm.

Kết luận, giá trị nhỏ nhất của biểu thức \( P \) là
\[
\boxed{15}
\] khi \( x = 2 \) và \( y = 4 \).