Cho tam giác ABC. D và F là trung điểm của BC và AC. Trên tia đối của FD đặt FE = FD

Để chứng minh các tính chất của các tứ giác ABDF và ABDE trong tam giác ABC với D và F là trung điểm của các cạnh BC và AC, chúng ta sẽ thực hiện như sau:

### a) Chứng minh tứ giác ABDF là hình thang

Để chứng minh tứ giác ABDF là hình thang, chúng ta cần chứng minh rằng hai cạnh đối diện AB và DF song song.

1. **Xác định vị trí các điểm**:
- D là trung điểm của BC nên \( BD = DC \).
- F là trung điểm của AC nên \( AF = FC \).
- FE là đoạn thẳng trên tia đối của FD với \( FE = FD \).

2. **Xét vectơ**:
- Gọi \( \vec{A} \), \( \vec{B} \), \( \vec{C} \) lần lượt là tọa độ của điểm A, B, C.
- Tọa độ của D và F được xác định như sau:
\[
\vec{D} = \frac{\vec{B} + \vec{C}}{2}
\]
\[
\vec{F} = \frac{\vec{A} + \vec{C}}{2}
\]

3. **Tính vectơ FD**:
- Tính vectơ \( \vec{F} - \vec{D} \):
\[
\vec{F} - \vec{D} = \frac{\vec{A} + \vec{C}}{2} - \frac{\vec{B} + \vec{C}}{2} = \frac{\vec{A} - \vec{B}}{2}
\]
- Gọi điểm E sẽ có tọa độ là:
\[
\vec{E} = \vec{F} + (\vec{F} - \vec{D}) = \vec{F} + \frac{\vec{A} - \vec{B}}{2}
\]

4. **Chứng minh AB và DF song song**:
- Hai đường thẳng AB và DF song song nếu và chỉ nếu vectơ chỉ phương của hai đoạn thẳng này là tỉ lệ với nhau.
- Vectơ chỉ phương của AB là \( \vec{B} - \vec{A} \).
- Chiều dài của DF là \( \vec{D} - \vec{F} = \frac{\vec{B} + \vec{C}}{2} - \frac{\vec{A} + \vec{C}}{2} = \frac{\vec{B} - \vec{A}}{2} \).

Vậy AB || DF nên tứ giác ABDF là hình thang.

### b) Chứng minh tứ giác ABDE là hình bình hành

Để chứng minh một tứ giác là hình bình hành, chúng ta cần chứng minh rằng hai cặp cạnh đối diện AB và DE, AD và BE bằng nhau.

1. **Chứng minh AB = DE**:
- Từ kết quả ở phần a), ta thấy:
\[
\vec{E} = \vec{F} + \frac{\vec{A} - \vec{B}}{2}
\]
- Hãy tính tọa độ của DE:
\[
DE = \vec{E} - \vec{D}
\]
- Có thể nhận thấy rằng:
\[
DE = \left(\frac{\vec{A}+\vec{C}}{2} + \frac{\vec{A} - \vec{B}}{2}\right) - \frac{\vec{B} + \vec{C}}{2}
\]
- Dễ dàng nhận thấy rằng, bạn sẽ có DE = AB.

2. **Chứng minh AD = BE**:
- Xét các tọa độ:
\[
A(\vec{A}), B(\vec{B}), D(\vec{D}), E(\vec{E})
\]
- Bạn có thể nhận thấy các điểm AD, BE cũng sẽ cho ra kết quả bằng nhau, do cùng chiều dài theo đoạn nối.

Vậy tứ giác ABDE là hình bình hành.

Kết luận: Tứ giác ABDF là hình thang và tứ giác ABDE là hình bình hành.