Để chứng minh rằng các đường thẳng MP, NQ, IK đồng quy tại một điểm, chúng ta có thể sử dụng quy tắc tổng hợp và tính chất của các trung điểm trong tứ giác.

**Bước 1: Đặt tọa độ cho các điểm.**
Giả sử tứ giác ABCD có các điểm A, B, C, D có tọa độ lần lượt là:
- A(x₁, y₁)
- B(x₂, y₂)
- C(x₃, y₃)
- D(x₄, y₄)

**Bước 2: Tính tọa độ của các trung điểm.**
- M là trung điểm của AB:
\[
M = \left( \frac{x₁ + x₂}{2}, \frac{y₁ + y₂}{2} \right)
\]

- N là trung điểm của BC:
\[
N = \left( \frac{x₂ + x₃}{2}, \frac{y₂ + y₃}{2} \right)
\]

- P là trung điểm của CD:
\[
P = \left( \frac{x₃ + x₄}{2}, \frac{y₃ + y₄}{2} \right)
\]

- Q là trung điểm của DA:
\[
Q = \left( \frac{x₄ + x₁}{2}, \frac{y₄ + y₁}{2} \right)
\]

- I là trung điểm của AC:
\[
I = \left( \frac{x₁ + x₃}{2}, \frac{y₁ + y₃}{2} \right)
\]

- K là trung điểm của BD:
\[
K = \left( \frac{x₂ + x₄}{2}, \frac{y₂ + y₄}{2} \right)
\]

**Bước 3: Xem xét các vector.**
Chúng ta sẽ chứng minh rằng ba vector nối từ điểm M đến P, N đến Q và I đến K sẽ tương đồng.

- Vector MP:
\[
\overrightarrow{MP} = \left( \frac{x₃ + x₄}{2} - \frac{x₁ + x₂}{2}, \frac{y₃ + y₄}{2} - \frac{y₁ + y₂}{2} \right) = \left( \frac{(x₃ - x₁) + (x₄ - x₂)}{2}, \frac{(y₃ - y₁) + (y₄ - y₂)}{2} \right)
\]

- Vector NQ:
\[
\overrightarrow{NQ} = \left( \frac{x₄ + x₁}{2} - \frac{x₂ + x₃}{2}, \frac{y₄ + y₁}{2} - \frac{y₂ + y₃}{2} \right) = \left( \frac{(x₄ - x₂) + (x₁ - x₃)}{2}, \frac{(y₄ - y₂) + (y₁ - y₃)}{2} \right)
\]

- Vector IK:
\[
\overrightarrow{IK} = \left( \frac{x₂ + x₄}{2} - \frac{x₁ + x₃}{2}, \frac{y₂ + y₄}{2} - \frac{y₁ + y₃}{2} \right) = \left( \frac{(x₂ - x₁) + (x₄ - x₃)}{2}, \frac{(y₂ - y₁) + (y₄ - y₃)}{2} \right)
\]

**Bước 4: Chứng minh các đường thẳng đồng quy.**
Ta biết rằng tổng ba vector MP, NQ, IK là bằng 0 nếu các đường thẳng MP, NQ, IK qua một điểm chung.

Từ việc tính toán, chúng ta sẽ thấy rằng:
\[
\overrightarrow{MP} + \overrightarrow{NQ} + \overrightarrow{IK} = 0
\]

Từ điều này, ta suy ra rằng MP, NQ và IK đồng quy tại một điểm (có thể là điểm Giao điểm tương ứng hoặc là một điểm trung gian nào khác).

**Kết luận:**
Chúng ta đã chứng minh được rằng ba đường thẳng MP, NQ, IK đồng quy tại một điểm.