Cho tam giác ABC có AB=AC. Tia phân giác của góc BAC cắt BC ở D. Chứng minh rằng AD là điểm trung trực của đoạn thẳng BC

Để chứng minh rằng AD là đường trung trực của đoạn thẳng BC, ta sẽ dựa vào một số tính chất và định lý liên quan đến tam giác.

**Giả thiết**: Cho tam giác ABC có AB = AC. Tia phân giác của góc BAC cắt BC tại D.

**Cần chứng minh**: AD là đường trung trực của đoạn thẳng BC.

**Chứng minh**:

1. **Xét hình và ký hiệu**:
- Gọi G là trung điểm của đoạn BC. Ta cần chứng minh rằng AD vuông góc với BC và G nằm trên AD.

2. **Sử dụng tính chất đường phân giác**:
- Theo định lý phân giác trong tam giác, ta có: \(\frac{BD}{DC} = \frac{AB}{AC} = \frac{AB}{AB} = 1\), do AB = AC.
- Điều này suy ra rằng \(BD = DC\). Như vậy, D là trung điểm của đoạn thẳng BC.

3. **Xét tam giác ABD và ACD**:
- Trong tam giác ABD và ACD, ta có:
- AB = AC (giả thiết)
- BD = CD (theo kết quả từ bước 2)
- AD là một cạnh chung.

- Từ đó, ta có hai tam giác ABD và ACD bằng nhau (theo tiêu chí cạnh-cạnh-cạnh - CĐC).

4. **Kết luận**:
- Từ sự bằng nhau của hai tam giác ABD và ACD, ta có:
- Angles \(ABD = ACD\) (do tam giác bằng nhau)
- AD là đường phân giác của góc BDC.

5. **Chứng minh AD vuông góc với BC**:
- Từ D là điểm trên BC và AD là đường phân giác chia góc BDC thành hai phần bằng nhau, do vậy, theo định nghĩa, AD vuông góc với BC.
- Điều này có nghĩa rằng AD đồng thời là đường trung trực của BC.

Vậy, ta đã chứng minh được rằng AD là đường trung trực của đoạn thẳng BC.

**Kết luận**: AD là đoạn thẳng đồng thời là đường phân giác của góc BAC và đồng thời cũng là đường trung trực của BC.