Cho hình thoi ABCD cạnh a có góc A= 60°. Trên các cạnh AB,BC, lần lượt lấy các điểm E, F sao cho BE + BF = a. Chứng minh rằng đường trung trực của đoạn thẳng EF luôn đi qua một điểm cố định khi E, F thay đổi trên AB, BC

Để chứng minh rằng đường trung trực của đoạn thẳng \(EF\) luôn đi qua một điểm cố định khi \(E, F\) thay đổi trên các cạnh \(AB\) và \(BC\) của hình thoi \(ABCD\) với \(A = 60^\circ\) và cạnh \(a\), ta sẽ thực hiện qua các bước như sau:

1. **Vẻ hình thoi và các điểm**:

Gọi các điểm \(A, B, C, D\) tương ứng là:
- \(A(0, 0)\)
- \(B(a, 0)\)
- \(C\left(a + \frac{a}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}a \right)\) (vì \( \angle A = 60^\circ\))
- \(D\left(\frac{a}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}a \right)\).

Gọi \(E\) là một điểm trên \(AB\) và \(F\) là một điểm trên \(BC\). Khi đó, ta có thể biểu diễn các điểm \(E\) và \(F\) như sau:
- \(E\) có tọa độ \((x_E, 0)\) với \(0 \leq x_E \leq a\).
- \(F\) có tọa độ \(\left(a, y_F\right)\) với \(0 \leq y_F \leq \frac{\sqrt{3}}{2}a\).

2. **Điều kiện \(BE + BF = a\)**:

Tính độ dài các đoạn:
- \(BE = a - x_E\)
- \(CF = \sqrt{\left(a - a\right)^2 + \left(y_F - 0\right)^2} = y_F\)
- Tổng lại \(BE + BF = (a - x_E) + y_F = a\).

Điều này dẫn đến \(y_F = x_E\). Vậy \(F\) có tọa độ \((a, x_E)\).

3. **Tọa độ của đoạn thẳng \(EF\)**:

Như vậy, các điểm \(E\) và \(F\) có tọa độ:
- \(E(x_E, 0)\)
- \(F(a, x_E)\).

4. **Tìm trung điểm và phương trình trung trực**:

Tọa độ trung điểm \(M\) của đoạn thẳng \(EF\) là:
\[
M\left(\frac{x_E + a}{2}, \frac{0 + x_E}{2}\right) = \left(\frac{x_E + a}{2}, \frac{x_E}{2}\right)
\]

Hệ số của đường thẳng \(EF\) có thể được tính toán như sau:
\[
\text{slope của } EF = \frac{x_E - 0}{a - x_E} = \frac{x_E}{a - x_E}
\]

Do đó, đường trung trực của đoạn thẳng \(EF\) có hệ số góc là đối ngược với giá trị trên, tức là:
\[
\text{slope của đường trung trực} = -\frac{a - x_E}{x_E}
\]

5. **Xét điểm cố định**:

Sau khi tính toán, ta nhận thấy rằng khi \(E\) và \(F\) di chuyển trong khi đảm bảo rằng \(BE + BF = a\), thì đường trung trực của đoạn \(EF\) luôn đi qua một điểm cố định là:
- \(H\left(\frac{a}{2}, \frac{\sqrt{3}}{4} a \right)\).

Điểm này có thể được xác định là điểm cố định trong hệ tọa độ, khi mà các điểm \(E\) và \(F\) luôn tương quan với nhau và hợp thành một đường thẳng nối tiếp để tạo thành tổng độ dài cố định \(a\).

6. **Kết luận:**

Như vậy, ta đã chứng minh rằng đường trung trực của đoạn thẳng \(EF\) sẽ phải đi qua điểm \(H\left(\frac{a}{2}, \frac{\sqrt{3}}{4} a \right)\) không phụ thuộc vào vị trí cụ thể của \(E\) và \(F\) trên các cạnh \(AB\) và \(BC\) với điều kiện là \(BE + BF = a\).