Để tìm giá trị nhỏ nhất \( m \) của hàm số \( f(x) = \sqrt{x + \frac{1}{x}} \) trên khoảng \( (0; +\infty) \), ta sẽ thực hiện các bước sau:

1. **Xác định miền xác định**:
Hàm số \( f(x) \) được xác định cho mọi \( x > 0 \).

2. **Tính đạo hàm**:
Tính \( f'(x) \) để tìm các điểm cực trị:

\[
f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x + \frac{1}{x}}} \left( 1 - \frac{1}{x^2} \right)
\]

Đặt \( 1 - \frac{1}{x^2} = 0 \) để tìm các điểm tới hạn:

\[
1 = \frac{1}{x^2} \implies x^2 = 1 \implies x = 1
\]
(Thực tế chỉ có \( x = 1 \) đáng quan tâm vì \( x > 0 \))

3. **Kiểm tra giá trị của hàm ở điểm tới hạn**:
Tính \( f(1) \):

\[
f(1) = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2}
\]

4. **Kiểm tra giới hạn khi \( x \to 0^+ \) và \( x \to +\infty \)**:
- Khi \( x \to 0^+ \):

\[
f(x) = \sqrt{x + \frac{1}{x}} \to \sqrt{+\infty} = +\infty
\]

- Khi \( x \to +\infty \):

\[
f(x) = \sqrt{x + \frac{1}{x}} \to \sqrt{+\infty} = +\infty
\]

5. **Kết luận**:
Từ các kết quả trên, \( f(x) \) đạt giá trị nhỏ nhất tại \( x = 1 \) và giá trị đó là \( \sqrt{2} \).

Vậy giá trị nhỏ nhất \( m \) của hàm số là:
\[
\boxed{\sqrt{2}}
\]