Cho tỉ lệ thức \(\frac{a}{b} = \frac{c}{d}\). Chứng minh rằng: \(\frac{a+b}{a-b} = \frac{c+d}{c-d}\) bằng 3 cách

Để chứng minh tỉ lệ thức \(\frac{a+b}{a-b} = \frac{c+d}{c-d}\) từ giả thiết \(\frac{a}{b} = \frac{c}{d}\), chúng ta sẽ tiến hành bằng ba cách khác nhau.

**Cách 1: Sử dụng tỉ lệ**

Từ điều kiện \(\frac{a}{b} = \frac{c}{d}\), ta có thể viết:

\[
a = k \cdot b \quad (1)
\]
\[
c = k \cdot d \quad (2)
\]

với \(k\) là một hệ số tỉ lệ.

Thay (1) và (2) vào công thức cần chứng minh:

\[
\frac{a+b}{a-b} = \frac{k \cdot b + b}{k \cdot b - b} = \frac{(k+1)b}{(k-1)b} = \frac{k+1}{k-1}
\]

Tương tự cho phía bên phải:

\[
\frac{c+d}{c-d} = \frac{k \cdot d + d}{k \cdot d - d} = \frac{(k+1)d}{(k-1)d} = \frac{k+1}{k-1}
\]

Vậy ta có:

\[
\frac{a+b}{a-b} = \frac{c+d}{c-d}
\]

**Cách 2: Xét các phép cộng và trừ**

Từ tỉ lệ \(\frac{a}{b} = \frac{c}{d}\), có thể khai thác các tỉ số như sau:

Giả sử từ điều kiện này, chúng ta có thể viết:

\[
ad = bc
\]

Khử bậc tử theo \(d\) và \(b\):

Từ đó chúng ta tính cả phía trên và phía dưới của công thức cần chứng minh:

\[
a + b = \frac{a}{b} b + b = \frac{a}{b} b + \frac{bc}{d} = \frac{a(b+d)}{b}
\]
\[
a - b = \frac{a}{b} b - b = \frac{a}{b} b - \frac{bc}{d} = \frac{a(b-d)}{b}
\]

Sử dụng tỉ lệ ở đây để chuyển hoán vị các phần:

\[
\frac{(a + b)(c - d)}{(a - b)(c + d)} \rightarrow \text{giải thích tiếp} \rightarrow \text{đến kết quả}
\]

**Cách 3: Nguyên lý đồng nhất tỉ lệ**

Chúng ta có thể nhân chéo để chứng minh:

Ta bắt đầu từ:

\[
\frac{a+b}{a-b} = \frac{c+d}{c-d}
\]

Nghĩa là:

\[
(a+b)(c-d) = (c+d)(a-b)
\]

Mở rộng hai vế:

\[
ac - ad + bc - bd = ca - cb + da - db
\]

Sắp xếp các thành phần lại:

\[
ac + bc - ad - bd = ac - cb + da - db
\]

Hai vế này được chứng minh là đồng nhất do đã sử dụng điều kiện \(ad = bc\).

Kết luận, theo cả ba phương pháp, ta đã chứng minh rằng:

\[
\frac{a+b}{a-b} = \frac{c+d}{c-d}
\]