Tìm K để phương trình: (k+1)x^2 - 2(k+2)x + k - 3 = 0 có 2 nghiệm x1, x2 thỏa mãn (4X1+1)(4X2+1) = 18

Để giải bài toán, trước hết chúng ta nhận dạng phương trình bậc 2:

\[
(k + 1)x^2 - 2(k + 2)x + (k - 3) = 0
\]

Với hệ số a, b, c như sau:

\[
a = k + 1, \quad b = -2(k + 2), \quad c = k - 3
\]

Từ phương trình bậc 2, hai nghiệm \(x_1\) và \(x_2\) có thể được tính bằng định lý Viète:

\[
x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = \frac{2(k + 2)}{k + 1}, \quad x_1 x_2 = \frac{c}{a} = \frac{k - 3}{k + 1}
\]

Theo bài toán, ta cần thoả mãn điều kiện:

\[
(4x_1 + 1)(4x_2 + 1) = 18
\]

Ta có thể viết lại điều kiện này:

\[
(4x_1 + 1)(4x_2 + 1) = 16x_1x_2 + 4(x_1 + x_2) + 1 = 18
\]

Rút gọn, ta có:

\[
16x_1x_2 + 4(x_1 + x_2) + 1 - 18 = 0
\]
\[
16x_1x_2 + 4(x_1 + x_2) - 17 = 0
\]

Thay các biểu thức từ định lý Viète vào:

\[
16 \cdot \frac{k - 3}{k + 1} + 4 \cdot \frac{2(k + 2)}{k + 1} - 17 = 0
\]

Tính toán từng phần:

\[
= \frac{16(k - 3)}{k + 1} + \frac{8(k + 2)}{k + 1} - 17 = 0
\]

Gộp lại thành:

\[
\frac{16(k - 3) + 8(k + 2)}{k + 1} - 17 = 0
\]

Tích phân tử:

\[
16k - 48 + 8k + 16 - 17(k + 1) = 0
\]

Rút gọn lại:

\[
(16k + 8k - 17k) - 48 + 16 - 17 = 0
\]
\[
7k - 49 = 0
\]

Giải phương trình:

\[
7k = 49 \Rightarrow k = 7
\]

Để kiểm tra, ta có:

1. Thay \(k = 7\) vào phương trình ban đầu:

\[
(7 + 1)x^2 - 2(7 + 2)x + (7 - 3) = 0 \Rightarrow 8x^2 - 18x + 4 = 0
\]

2. Tính nghiệm phương trình:

Sử dụng công thức nghiệm:

\[
D = b^2 - 4ac = (-18)^2 - 4 \cdot 8 \cdot 4 = 324 - 128 = 196 > 0
\]

Phương trình có 2 nghiệm.

3. Kiểm tra điều kiện:

\[
x_1 + x_2 = \frac{18}{8} = \frac{9}{4}, \quad x_1 x_2 = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}
\]

Đặt vào điều kiện:

\[
(4x_1 + 1)(4x_2 + 1) = 16x_1x_2 + 4(x_1 + x_2) + 1 = 16 \cdot \frac{1}{2} + 4 \cdot \frac{9}{4} + 1 = 8 + 9 + 1 = 18
\]

Vậy \(k = 7\) là giá trị thoả mãn yêu cầu của bài toán.

**Kết luận**: \(k = 7\).