Để tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \( y = x^3 - 3x - m + 1 \) trên đoạn \([0, 1]\) bằng 2, ta thực hiện các bước sau:

1. **Xác định hàm số**:
\[
y = x^3 - 3x - m + 1
\]

2. **Tính đạo hàm**:
\[
y' = 3x^2 - 3
\]

3. **Tìm cực trị**:
Đặt \( y' = 0 \):
\[
3x^2 - 3 = 0 \implies x^2 = 1 \implies x = 1 \text{ hoặc } x = -1
\]
Tuy nhiên, chỉ có \( x = 1 \) nằm trong khoảng \([0, 1]\).

4. **Xem xét các giá trị tại các mốc**:
Tính \( y \) tại các điểm biên:
- Tại \( x = 0 \):
\[
y(0) = 0^3 - 3(0) - m + 1 = 1 - m
\]
- Tại \( x = 1 \):
\[
y(1) = 1^3 - 3(1) - m + 1 = -m - 1
\]

5. **So sánh giá trị**:
Giá trị nhỏ nhất trong \([0, 1]\) là:
\[
\min(1 - m, -m - 1)
\]

6. **Đặt điều kiện nhỏ nhất bằng 2**:
Để \( \min(1 - m, -m - 1) = 2 \), ta giải cả hai trường hợp.

**Trường hợp 1**:
\[
1 - m = 2 \implies m = -1
\]

**Trường hợp 2**:
\[
-m - 1 = 2 \implies -m = 3 \implies m = -3
\]

7. **Kết luận**:
Giá trị \( m \) có thể là -1 hoặc -3 để giá trị nhỏ nhất của \( y \) trên đoạn \([0, 1]\) bằng 2.