Để giải bài toán, trước tiên ta cần hiểu rõ điều kiện chia hết cho 4. Một số chia hết cho 4 khi hai chữ số cuối của nó chia hết cho 4.

Tổng \( S = 1200 + x \).

### a) Tìm \( x \) thuộc \( N \) để \( S \) chia hết cho 4

**Bước 1**: Tính \( 1200 \mod 4 \):
\[ 1200 \div 4 = 300 \] (chia hết, do đó \( 1200 \equiv 0 \mod 4 \)).

**Bước 2**: Ta cần \( S \equiv 0 \mod 4 \):
\[ 1200 + x \equiv 0 + x \equiv x \mod 4 \]
Vậy \( x \equiv 0 \mod 4 \) cần cho \( S \) chia hết cho 4.

**Bước 3**: Các giá trị của \( x \) thuộc \( N \):
Vậy \( x \) có thể là các số \( 0, 4, 8, 12, 16, \ldots \).

### b) Tìm \( x \) thuộc \( N \) để \( S \) không chia hết cho 4

**Bước 1**: Tương tự, ta vẫn có:
\[ S \equiv x \mod 4 \]

**Bước 2**: Để \( S \) không chia hết cho 4, ta cần:
\[ x \not\equiv 0 \mod 4 \]
Điều này có nghĩa là \( x \) có thể nhận các giá trị là \( 1, 2, 3 \mod 4 \).

**Bước 3**: Các giá trị có thể của \( x \) là:
- \( x \equiv 1 \): \( 1, 5, 9, 13, 17, \ldots \)
- \( x \equiv 2 \): \( 2, 6, 10, 14, 18, \ldots \)
- \( x \equiv 3 \): \( 3, 7, 11, 15, 19, \ldots \)

**Kết luận**:
- a. Các giá trị của \( x \) để \( S \) chia hết cho 4 là: \( x = 0, 4, 8, 12, 16, \ldots \)
- b. Các giá trị của \( x \) để \( S \) không chia hết cho 4 là: \( x = 1, 2, 3, 5, 6, 7, 9, 10, 11, 13, 14, 15, \ldots \)