Để tìm các giá trị thực của tham số \( m \) sao cho giá trị nhỏ nhất của hàm số \( y = \frac{x + 2m^2 - m}{x - 3} \) trên đoạn \([0; 1]\) bằng -2, ta thực hiện các bước sau:

1. **Xét hàm số**:
\[
y = \frac{x + 2m^2 - m}{x - 3}
\]
Hàm số này có điểm không xác định tại \( x = 3 \), nhưng không nằm trong đoạn \([0; 1]\), nên hàm số là xác định trên đoạn này.

2. **Tính giá trị hàm số tại các đầu đoạn**:
- Tại \( x = 0 \):
\[
y(0) = \frac{0 + 2m^2 - m}{0 - 3} = \frac{2m^2 - m}{-3} = -\frac{2m^2 - m}{3} = \frac{m - 2m^2}{3}
\]
- Tại \( x = 1 \):
\[
y(1) = \frac{1 + 2m^2 - m}{1 - 3} = \frac{1 + 2m^2 - m}{-2} = -\frac{1 + 2m^2 - m}{2}
\]

3. **Xét giá trị nhỏ nhất của hàm số**:
Để tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số trong đoạn này, ta so sánh giá trị tại các đầu đoạn \( y(0) \) và \( y(1) \), đồng thời kiểm tra sự biến thiên của hàm số.

4. **Biến thiên của hàm số**:
Tính đạo hàm \( y' \):
\[
y' = \frac{(x - 3)(1) - (x + 2m^2 - m)(1)}{(x - 3)^2} = \frac{x - 3 - (x + 2m^2 - m)}{(x - 3)^2} = \frac{-3 + m + 2m^2}{(x - 3)^2}
\]
Đạo hàm chỉ bằng 0 khi \( -3 + m + 2m^2 = 0 \).

5. **Giải phương trình**:
\[
2m^2 + m - 3 = 0
\]
Áp dụng công thức nghiệm:
\[
m = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 24}}{4} = \frac{-1 \pm 5}{4}
\]
Ta được hai nghiệm:
\[
m_1 = 1, \quad m_2 = -\frac{3}{2}
\]

6. **Tính giá trị tại điểm tới hạn**:
- Tại \( m = 1 \):
\[
y(0) = \frac{1 - 2}{3} = -\frac{1}{3}, \quad y(1) = -\frac{1 + 2 - 1}{2} = -1
\]

- Tại \( m = -\frac{3}{2} \):
\[
y(0) = \frac{-\frac{3}{2} - 3}{3} = -\frac{15}{6} = -\frac{5}{2}, \quad y(1) = -\frac{1 + \frac{9}{2} + \frac{3}{2}}{2} = -\frac{6}{2} = -3
\]

7. **Xét điều kiện**:
Ta cần giá trị nhỏ nhất bằng -2. Tính giá trị tại đầu đoạn:
\[
y(0) = \frac{m - 2m^2}{3} = -2 \implies m - 2m^2 = -6 \implies 2m^2 - m - 6 = 0
\]
Giải phương trình:
\[
m = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 48}}{4} = \frac{1 \pm 7}{4} \implies m_1 = 2, \quad m_2 = -\frac{3}{2}
\]

Kết luận: Các giá trị của tham số \( m \) sao cho giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn \([0; 1]\) bằng -2 là:
\[
m = 2 \quad \text{hoặc} \quad m = -\frac{3}{2}
\]