Cho n là số tự nhiên khác 0, chứng minh (n+1).(n+2).(n+3)...(2n) chia hết cho 2^n

Để chứng minh rằng tích \((n+1)(n+2)(n+3)\cdots(2n)\) chia hết cho \(2^n\) cho \(n\) là số tự nhiên khác 0, chúng ta sẽ đếm số lượng các yếu tố 2 trong tích này.

### Bước 1: Đếm số lượng các số chẵn trong khoảng \([n+1, 2n]\)

Trong khoảng từ \(n+1\) đến \(2n\), tổng số số nguyên là \(2n - (n + 1) + 1 = n\). Trong số \(n\) số này, chúng ta sẽ đếm số lượng các số chẵn.

Số chẵn đầu tiên trong đoạn này là \(n + 2\) (nếu \(n+1\) là lẻ) hoặc \(n + 1\) (nếu \(n+1\) là chẵn). Số cuối cùng là \(2n\).

### Bước 2: Số lượng số chẵn

Số lượng số chẵn trong đoạn \([n + 1, 2n]\) chính là số nguyên từ \(1\) đến \(n\), vì mỗi số lẻ sẽ có một số chẵn đằng sau nó:
- Nếu \(n\) là chẵn, thì có \(\frac{n}{2}\) số chẵn.
- Nếu \(n\) là lẻ, thì có \(\frac{n+1}{2}\) số chẵn.

Kết hợp lại:
- Nếu \(n\) chẵn: số lượng số chẵn là \(\frac{n}{2}\).
- Nếu \(n\) lẻ: số lượng số chẵn là \(\frac{n + 1}{2}\).

### Bước 3: Đếm số lượng số chia hết cho \(4\) trong khoảng

Mỗi số chia hết cho \(4\) đóng góp thêm một yếu tố \(2\). Số lượng số chia hết cho \(4\) trong đoạn này là số nguyên từ \(1\) đến \(\left\lfloor \frac{n}{2} \right\rfloor\).

### Bước 4: Kết luận

Tổng số yếu tố \(2\) trong tất cả các số chẵn từ \(n + 1\) đến \(2n\) lớn hơn hoặc bằng \(n\), do đó:
\[ (n + 1)(n + 2)(n + 3) \cdots (2n) \] có ít nhất \(n\) yếu tố \(2\).

Vậy, \( (n + 1)(n + 2)(n + 3) \cdots (2n) \) chia hết cho \( 2^n \).

### Kết luận cuối cùng
Do đó, ta đã chứng minh rằng \((n + 1)(n + 2)(n + 3) \cdots (2n)\) chia hết cho \(2^n\) với \(n\) là số tự nhiên khác 0.