Khai triển các hằng đẳng thức sau:

Để khai triển các hằng đẳng thức, bạn có thể sử dụng định lý nhị thức (hằng đẳng thức nhị thức). Dưới đây là kết quả khai triển cho từng trường hợp trong bài tập của bạn:

### Bài 1: Khai triển các hằng đẳng thức

a) \((x + 1)^8\):
\[
(x + 1)^8 = \sum_{k=0}^{8} \binom{8}{k} x^{8-k} \cdot 1^k = x^8 + 8x^7 + 28x^6 + 56x^5 + 70x^4 + 56x^3 + 28x^2 + 8x + 1
\]

b) \((2x + 3)^8\):
\[
(2x + 3)^8 = \sum_{k=0}^{8} \binom{8}{k} (2x)^{8-k} \cdot 3^k
\]
\[
= (2^8)x^8 + \binom{8}{1}(2^7)(3)x^7 + \ldots + 3^8
\]

c) \(\left(x + \frac{1}{2}\right)^3\):
\[
\left(x + \frac{1}{2}\right)^3 = x^3 + 3x^2\left(\frac{1}{2}\right) + 3x\left(\frac{1}{2}\right)^2 + \left(\frac{1}{2}\right)^3
\]
\[
= x^3 + \frac{3}{2}x^2 + \frac{3}{4}x + \frac{1}{8}
\]

d) \((x^2 + 2)^3\):
\[
(x^2 + 2)^3 = x^6 + 3x^4 \cdot 2 + 3x^2 \cdot 2^2 + 2^3
\]
\[
= x^6 + 6x^4 + 12x^2 + 8
\]

e) \((2x + 3y)^8\):
Sử dụng công thức tương tự như trong b), bạn sẽ có:
\[
(2x + 3y)^8
\]

f) \(\left(\frac{1}{2}x + y^3\right)^8\):
Tương tự, bạn sẽ khai triển được:
\[
\left(\frac{1}{2}x + y^3\right)^8
\]

### Bài 2: Khai triển các hằng đẳng thức

a) \((x - 3)^8\):
\[
(x - 3)^8 = \sum_{k=0}^{8} \binom{8}{k} x^{8-k} (-3)^k
\]

b) \((2x - 3)^8\):
\[
(2x - 3)^8 = \sum_{k=0}^{8} \binom{8}{k} (2x)^{8-k} (-3)^k
\]

c) \((x^2 - 2)^3\):
\[
(x^2 - 2)^3 = x^6 - 6x^4 + 12x^2 - 8
\]

d) \((2x - 3y)^8\):
Sử dụng công thức tương tự như trong b).

e) \((2x - 3)^8\):
Sử dụng công thức tương tự như trong b).

### Bài 3: Rút gọn biểu thức

a) \(A = (x - 1)^2 - (x + 1)^2\):
\[
= (x^2 - 2x + 1) - (x^2 + 2x + 1)
\]
\[
= -4x
\]

b) \(B = (x + y)^2 + (x - y)^2\):
\[
= (x^2 + 2xy + y^2) + (x^2 - 2xy + y^2)
\]
\[
= 2x^2 + 2y^2
\]

c) \(C = (x - y)^2 + 3xy(x - y)\):
\[
= (x^2 - 2xy + y^2) + 3xy(x - y)
\]
\[
= x^2 - 2xy + y^2 + 3x^2y - 3y^2x
\]

d) \(D = (x + 1)^2 + (x - 3)^2 - 2(x^2 + 15)(x - 3)\):
Tương tự, tiến hành khai triển và rút gọn.

e) \(E\):
Tiến hành tương tự để rút gọn.

Hãy hoàn thiện phần khai triển từng bước và rút gọn càng chi tiết càng tốt!