Để giải bài toán này, ta thực hiện từng yêu cầu trong đề bài:

**a) Chứng minh AN // CM:**

1. **Tính chất của hình bình hành**: Trong một hình bình hành, các cạnh đối song song và bằng nhau. Cụ thể: AB // DC và AD // BC.

2. **Xét triệu phú tam giác**: Xét tam giác ABM và DNC. Ta có:
- AM = CN (theo giả thiết)
- AB = DC (tính chất của hình bình hành)
- BM = ND (các đoạn này đều là khoảng cách theo chiều dọc giữa hai cạnh song song).

3. **Sử dụng tiêu đề chuyển động**: Từ những điều trên, ta có:
- Tam giác ABM có cạnh AB // DC nên góc AMB = góc CND.
- Tương tự, góc ABM = góc DNC.

4. **Áp dụng định lý về hai đoạn thẳng song song**: Theo định lý về hai đoạn thẳng song song, ta kết luận rằng AN // CM.

**b) Chứng minh O là trung điểm của MN:**

1. **Đặt O là giao điểm của AC và BD**: Theo tính chất hình bình hành, ta biết rằng AC và BD cắt nhau tại O do chúng là các đường chéo của hình bình hành.

2. **Tính chất của đường chéo**: Đường chéo trong hình bình hành sẽ cắt nhau tại trung điểm của mỗi đoạn. Vậy O sẽ là trung điểm của cả AC và BD.

3. **Xét đoạn thẳng MN**: Ta đã biết rằng M và N được đặt sao cho AM = CN, do đó, hai đoạn thẳng AM và CN bằng nhau và đối xứng qua O.

4. **Kết luận**: Do đó, O chính là trung điểm của đoạn MN.

Vậy ta đã chứng minh xong cả hai yêu cầu của bài toán.